Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, мы можем задать интересующее нас пространство A(V) допустимых A-инвариантов двумя способами:
1) как ортогональное дополнение к подпространству А*(У), базис в котором был только что описан;
2) как образ заданного явной формулой оператора ф[: Bq —у В0.
Теперь мы опишем область значений Z-инварианта.
Предложение 6.9. Любой класс гомологий из группы Н\(Р) реализуется как Z-инвариант некоторой гамильтоновой системы (с одной степенью свободы) на данном атоме V. Другими словами, Z(V) = Hi(P).
Доказательство.
Поскольку нашей целью является реализация всех элементов группы Hi, то достаточно доказать предложение для базисных 1-циклов на поверхности Р. Возьмем произвольный базисный цикл г из группы Hi(P). Можно считать, что он геометрически реализован на поверхности Р какой-то самонепересекающейся окружностью, составленной из ребер графа К, причем каждое ребро входит в него ровно один раз (т.е. с кратностью 1), рис. 6.20. Другими словами, цикл г задается как 1-цепь, принимающая на ребрах графа К значения ±1 или 0. Мы
Рис. 6.19
Рис. 6.20
Классификация гамильтоновых потоков
267
должны найти подходящий 1-коцикл га из i?1(P) такой, что действуя оператором ф'2 на этот коцикл, мы и получаем цикл z.
Оператор ф'2 был индуцирован на группе 1-когомологий операцией вклейки-вырезания Фто на 0-модели. С геометрической точки зрения 1-коцикл га (имеющий носитель на графе К) можно трактовать как 1-цикл на той же поверхности Р, имеющий носитель на двойственном графе. Двойственный граф К* = Г состоит из отрезков, трансверсальных ребрам графа К и пересекающих их «в середине» ровно^ по одному разу. Концы ребер графа Г — это центры 2-клеток поверхности Р. Пусть 1-коцикл т реализуется в виде окружности (пунктир на рис. 6.20), составленной из некоторых ребер графа Г. Эта пунктирная окружность идет «вдоль» окружности 1-цикла z и гомологична ему.
Рассмотрим ленту L, границей которой является пара циклов z и га, и все вершины графа К, принадлежащие циклу z. В каждой такой вершине встречаются 4 ребра. Два из них лежат в цикле z, а два других в нем не лежат. Рассмотрим те из них, которые имеют непустое пересечение с выбранной нами лентой (они могут входить в нее или выходить из нее). Обозначим эти ребра через К\, ... , К2р. Легко видеть, что их четное число. Отметим далее, что ориентации каждой пары соседних ребер из Кх, ... , К2р — противоположны. При обходе вдоль z их ориентации чередуются (входит-выходит).
Запишем теперь коцикл га как линейную комбинацию ребер графа Г. Легко видеть, что га = X)i=i(—ГДе К? — ребра графа Г, двойственные к указанным выше ребрам К1, ... , К2р графа К. Здесь га = {га*}, где га* = ±1, 1 г 2р. При этом га* = +1, если ребро Ki входит в ленту L, и m, = —1, если ребро Ki выходит из ленты L. Операция вклеивания-вырезания будет устроена как обычно. Если ТП{ = +1, мы вклеим прямоугольник «длины 1» в ребро К, а если га* = —1, то из ребра Ki мы вырежем прямоугольник «длины 1». Рис. 6.21
Вычислим теперь цепь I (Z-инвариант системы, полученной из 0-модели операцией Фто). Легко проверяется, что при вклеивании-вырезании прямоугольника на некотором ребре графа К изменения Z-инварианта касаются только ребер, лежащих на границе двух колец, примыкающих к данному ребру. Таким образом, в рассматриваемом случае нетривиальные коэффициенты lj цепи I будут стоять только на тех ребрах графа К, которые принадлежат границам колец <7i, ... , Ср, примыкающих с внутренней стороны к циклу z. С внешней стороны цикла z никаких изменений не происходит. Возьмем какое-то конкретное кольцо Ci из указанного набора колец. Надо доказать, что коэффициенты lj, отвечающие данному кольцу, равны нулю на всех ребрах графа К (инцидентных с данным кольцом), которые не являются ребрами цикла z, а на ребрах цикла z эти коэффициенты должны равняться 1.
Выберем на кольце Ci начальную точку раздела X на первом ребре, выхо-
268
Глава 6
дящем из ленты L (рис. 6.21). Напомним, что после этого все остальные точки раздела однозначно восстанавливаются. Для вычисления цепи I нужно проанализировать смещения этих точек раздела после применения операции вклейки-вырезания. Рассмотрим серию точек раздела на тех ребрах, которые не лежат в цикле z. Поскольку выбор начальной точки раздела X — в нашей власти, то мы можем считать, что после вклеивания-вырезания эта точка остается на месте.
Начнем двигаться от нее вдоль кольца «внутрь» цикла z. Следующие точки раздела (не лежащие на цикле z) также останутся на прежних местах. Это следует из того, что вклеивание-вырезание не изменило полного периода потока вдоль кольца, а расстояния между этими точками раздела и начальной точкой X вычисляются как некоторые функции (см. предложение 6.3) от «конечной части» полного периода потока на рассматриваемом кольце и значений А-инварианта. Таким образом, до тех пор, пока мы движемся по кольцу Ci вне цикла z, точки раздела остаются на прежних местах, а потому значения цепи I на соответствующих ребрах графа равны нулю (смещений точек раздела нет). Наконец, мы доходим до цикла z (рис. 6.21) и выходим на первое его ребро. Здесь мы выполнили операцию вклеивания прямоугольника «длины 1» в поток. Более точно, мы вклеиваем прямоугольник на последнем ребре, которое втыкается в цикл z между точками S и Y. Здесь S — вершина графа, лежащая на цикле z, a Y — точка раздела этого ребра. Следовательно, точка Y — последняя из точек раздела, остающихся на месте, а все остальные точки раздела, следующие за ней вдоль кольца С и лежащие на цикле z, сместятся «назад» (по отношению к направлению потока w) на «величину 1». Однако важно отметить, что все «парные им» точки раздела, появляющиеся из наружных колец (примыкающих к циклу z снаружи), не изменились. Следовательно, «расстояния» между парными (положительными и отрицательными) точками раздела на всех ребрах цикла z (примыкающих к кольцу Ci) стали равны 1. Если кольцо Ci было положительным, то значения lj цепи I будут равняться —1 (поскольку «назад отъехали» положительные точки раздела на ребрах). Соответственно, если кольцо было отрицательным, то соответствующие lj будут равняться +1. Все числа lj на ребрах графа, инцидентных кольцу, но лежащих вне цикла z, будут равняться нулю (здесь точки раздела не сместились).
