Интегрируемые гамильтоновы системы - Болсинов А.В.
ISBN 5-7029-0352-8
Скачать (прямая ссылка):
П-(/) = -A-(f) In |/| + B-(f), f s 0), П+(Я = -A+U) In \f\ + B+{f), f S (0, /о],
то тейлоровские разложения функций A~ и B~ обязаны совпадать с тейлоровскими разложениями функций А+ и В+ соответственно.
Наконец, существует гамильтониан, для которого функция периода на внешнем кольце имеет вид
П1(Я = -А(/)1п|/|.
Тогда на двух оставшихся кольцах функции периода будут иметь вид
П2(Я = -\A(f) In |/| + B(j),
п3(Я = ~kA(f)ln 1/1 - В(Я>
Гладкая сопряженность гамильтоновых потоков
285
и корректно определенными инвариантами будут тейлоровские разложения функций A(f) и B(f) в нуле.
Рассмотрим также еще один важный случай атома С*2 (рис. 7.8), который часто ветре-чается в конкретных задачах. Часто на этом атоме бывает определена естественная инволюция (центральная симметрия в М.3 относительно начала координат), которая меняет поток на противоположный. В силу такой симметрии Л*-инварианты вершин совпадают, так же как и функции периодов на кольцах одного знака. Посмотрим, сколько существенных инвариантов будет в этом случае. Снова выберем гамильтониан так, чтобы на одном из положительных колец функция периода принимала вид:
П!(/) = -Л(/)1п|/|.
Тогда на втором положительном кольце в силу симметрии функция периода будет такой же
П2(/) = —A(f) 1п|/|.
Опять-таки, в силу симметрии, функции на оставшихся двух отрицательных кольцах будут совпадать:
Пз(/) = -А(/)1п|/| + В(/), П4(/) = -А(/)1п|/|-В(/),
Коэффициенты перед логарифмами будут совпадать, поскольку каждое кольцо проходит мимо одних и тех же особых точек. Что же касается конечных частей, то по условию, сформулированному выше, тейлоровское разложение функции B(f) + B(f) = 2B(f) должно быть тождественно нулевым, т.е. функция B(f) является малой бесконечного порядка в нуле и не дает никакого инварианта. Таким образом, при условии симметричности атома и системы на нем гладким инвариантом будет лишь один степенной ряд (ряд Тейлора функции A(f) в нуле).
Наконец, самое последнее замечание состоит в том, что в гладком случае нет никаких нетривиальных ограничений на инварианты (аналогичных тем, которые обсуждались в параграфе 3 главы 6). Л*-инвариант может быть совершенно произвольным с единственным условием, что его первый член положителен; на Я*-инвариант вообще нет никаких ограничений. Функции периодов Пп(/) должны обладать двумя естественными свойствами:
1) коэффициент перед логарифмом должен быть равен сумме Л*-инвариантов тех вершин графа, мимо которых проходит кольцо;
2) сумма тейлоровских разложений их конечных частей по положительным кольцам равна аналогичной сумме по отрицательным.
Глава 8
Траекторная классификация интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Второй шаг
Введение
Здесь мы изложим общую схему построения траекторных инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.
Итак, пусть v — интегрируемая гамильтонова система на трехмерной изо-энергетической поверхности Q3, / — дополнительный боттовский первый интеграл системы, Q = YQc — каноническое разложение на компоненты, каждая из которых содержит ровно один особый слой лиувиллева слоения. Такое разложение мы называем «атомным». Напомним, что выше мы использовали для Qc также обозначение U(L), где L С /-1(с) — особый слой, отвечающий критическому значению с интеграла / на Q.
Одна из трудностей, которая встречается при построении инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем на изоэнергетических 3-многообразиях, состоит в том, что многие объекты, возникающие в рамках этой теории естественным образом, зависят от выбора базисных циклов на торах Лиувилля. Прежде всего мы имеем в виду матрицы склейки и функции вращения. Поэтому решение задачи об инвариантах системы мы разделим на две части. Сначала мы предположим, что базисы на торах Лиувилля фиксированы, определим необходимые инварианты и покажем, что системы эквивалентны, если эти инварианты совпадают. См. ниже понятие избыточного оснащения. После этого мы проанализируем то, что происходит при изменении базисов на лиувиллевских торах и сделаем инвариант корректно определенным, т. е. не зависящим от выбора базиса.
Другими словами, из избыточного оснащения путем факторизации по действию «группы замен базисов» мы построим «Ъ>-молекулу, в топологическом случае, и «st»-молекулу, в гладком случае. Эти молекулы будут полностью определять слоение изоэнергетической поверхности Q3 на траектории системы, т.е. будут полными траекторными инвариантами системы.
Отметим, что излагаемая ниже конструкция применима для атомов общего вида. Однако при рассмотрении гладкого случае мы будем для простоты предполагать, что все атомы являются плоскими, и кроме того не имеют критических окружностей с неориентируемыми сепаратрисными диаграммами.
