Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
сравнения сепаратрисной диа^
84
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. II
граммы при сжатии пространства (табл. 3) и сепаратрисной диаграммы при
расширении пространства (при обращении направления времени). При
направлении времени в сторону сжатия пространства общая траектория
динамической системы (6.1) при т оо после конечного числа переходов вдоль
сепаратрис особых точек Фдх" Ти Аь Bt неограниченно приближается к
аттрактору Р и движется вдоль последовательностей (6.20) сепаратрис
особых точек (я|), а). При направлении времени в сторону расширения
пространства траектория проходит особые точки в обратной
последовательности. Перед уходом от особенности, или от границы Г, на
обращенной по времени сепаратрисной диаграмме возможны лишь пути,
изображенные на рис. 11. Здесь многоточие означает особые точки типов
(if>,a), Аи Bt. Прямая стрелка означает сепаратрису, цифра над ней - ее
размерность; волнистая стрелка - переход по непрерывности за счет того,
что одно особое множество лежит на границе другого; исключительные точки
Та следует причислить к физической области (хотя они лежат в замыкании
границы, но в окрестности этих точек система может находиться долго,
вплоть до момента максимального расширения). Из рис. 11 видно, что
траектория может отойти от границы Г, лишь пройдя около особых точек ФЛх,
Tt, а вакуумный колебательный режим BJIX, основанный на сепаратрисах,
лежащих в углах границы Г, из-за отсутствия сепаратрис, уходящих из этих
углов в физическую область от границы Г, может, в принципе, исчезать
произвольно рано. Отметим, что некоторые из путей на рис. И были найдены
также (другими, преимущественно численными, методами) в работе [70].
Для точной постановки вопроса о типичных состояниях метрики на ранней
стадии расширения пространства существенно следующее свойство монотонной
функции F = d (det gij)iu/dt (см. (4.2)): при направлении времени в
сторону расширения пространства функция | F | вдоль каждого решения
убывает от оо до 0, причем F = 0 в момент максимального расширения.
Естественно назвать ранней стадией расширения те состояния метрики, в
которых F^> 1. Отметим, что функция F инвариантна относительно масштабных
преобразований (4.10) и имеет простой физический смысл: это скорость
изменения среднего радиуса мира, определяемого йак | g j1/6 (| g 1V(r)
имеет размерность длины). Для решения Фридмана F = а, где а- радиус
трехмерной сферы (функция?/'7 = 5(| g \'I*)ldt является монотонной вдоль
любого,
Рис. 11. Пути на сепаратрисной диаграмме в сторону расширения перед
уходом от особенности.
КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ IX ТИПА
85
например, неоднородного, решения уравнения Эйнштейна в синхронной системе
отсчета, см. конец § 3).
Определение типичных состояний метрики на ранней стадии расширения
пространства состоит в следующем. Допустим, что при | F | = Fx 1 в
фазовом пространстве координат gtj и импульсов pxj каким-то образом
заданы начальные условия (например; распределение можно взять равномерным
на поверхности I Р I - ^i)- Эти начальные условия в силу уравнений
Эйнштейна перемещаются в фазовом пространстве и при некотором значении I
F | = F2 1 {F2 < Fij могут сосредоточиться в малой окрестности некоторых
специальных точек фазового пространства. При этом метрика будет
аппроксимироваться некоторыми специальными режимами, которые мы и будем
называть типичными состояниями метрики на ранней стадии расширения
пространства.
В рассматриваемой модели условие | F | = Fx 1 означает, что начальные
данные на многообразии S находятся в малой окрестности границы Г. Поэтому
траектории, выходящие из этих начальных состояний, движутся вдоль
сепаратрис особых точек системы (6.1), лежащих на границе Г, до попадания
в окрестность особ:л\ точек, имеющих сепаратрисы, выходящие в физическую
область многообразия S. Такими особыми точками являются точки множеств
Фдх> Ni и см. рис. И. Таким образом, исходное распределение начальных
данных преобразуется в распределение, сосредоточенное в окрестности
особых точек Фдх> и Tt. При этом траектории по-прежнему находятся около
границы Г, следовательно, \F |^>1. При движении траектории вдоль
сепаратрис особых точек Фдх, Ni и Tt, выходящих в физическую область
многообразия 5, метрика аппроксимируется степенными режимами (6.9),
(6.10), (6.11), которые и являются типичными состояниями метрики
однородной космологической модели IX типа на ранней стадии расширения
пространства (при этом функция | F | уменьшается до значений | F | ~ 1).
Отметим, что время t0 выхода метрики на один из этих степенных режимов
(t0 больше времени действия колебательного режима) может быть сколь
угодно малым и существенно зависит от самого решения (это очевидно уже из
наличия масштабных преобразований (4.10)). Для всех решений время t0<tm,
где tm - время, протекающее от сингулярности (при t= 0) до момента
максимального расширения пространства. Существенно, что время ?0 выхода
