Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
метрики на квазиизотропную асимптотику (6.9) также может быть сколь
угодно малым, т. е. изотропизация решений в однородной модели IX типа
может наступать (после анизотропного колебательного режима) произвольно
рано. 'Щ
Исследование типичных состояний метрики^всех остальных однородных
космологических моделей на [ранней стадии расширения пространства можно
провести вполне аналогичным обра-
86
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕНИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. II
зом, основываясь на материале глав II и III. Такое исследование
показывает, что типичные состояния метрики на ранней стадии расширения
пространства мало зависят от типа модели и от состояния движения
вещества. Точнее, степенные асимптотики (6.10),
(6.11) в разных моделях могут видоизменяться, однако во всех моделях
в число типичных состояний метрики входит квазиизот-ропная асимптотика
(6.9). Это обстоятельство свидетельствует о том, что квазиизотропная
асимптотика (6.9) является типичным состоянием метрики на ранней стадии
расширения пространства и в общем неоднородном случае.
VII. Геометрическая модель колебательного режима. Приведем еще одно
описание колебательного режима в однородной космологической модели IX
типа с помощью сепаратрисной аппроксимации траекторий динамической
системы. Преобразуем систему (4.1) в координаты Pt = 2piqi, qt и сделаем
замену времени dx^dt = 1/(?1<Мз'> получим следующую систему:
Pi - - Qi {Qi + q* - Qi) + H0, qt = qt (Pj + Pk - Pt),
(6.25)
где
#o = ^ (Г (Р*) + 7 (<?*)), (ij,k) = ( 1, 2, С,.
Особые точки системы (6.25) образуют четыре двумерных множества:
1) Три плоскости особых точек Tt: q% = 0, qj = qk, Pt =
0,
Pj = /V Плоскость Ti лежит на уровне Я0 = 0. Собственные
числа этих особых точек имеют вид
^i, 2 - 0, - Р% (1 - к), ^4,5 " =Ь 2iqx, Я6 ::= 2Рь.
2) Конус К особых точек
9" = 0, V (Pi) = 2 S P{Pj - S Pf = 0,
i<j г-l
лежащий в отрицательном квадранте координат Рх, Р2, Р3. Собственные числа
системы (6.25) в особых точках на конусе if имеют вид
^i, 2 - 0, Х3 = Рх + Р2 4" ^3 < 0,
= Р2 Рз РI - = Р\ "Ь Р3 Р2 =
~ Р\ Р% Р 3 ~ х3•
Легко проверить, что
V {Pi) = ххх2 + х2х3 + х3хх = 0
и
Рх + Р% + Рз = хх + х2 + х3 < 0.
КОСМОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ IX ТИПА
87
Отсюда следует, что одно из xt положительно, а два других отрицательны.
Если хх = 0, то или х2 = 0, или х3 = 0 (так как
V (Р^ = 0), поэтому лишние нулевые собственные числа появляются
только при Pt = 0, Рj - jPfc, т. е. при пересечении конуса с плоскостями
Тг, как и должно быть.
Из каждой точки jPJ, Р\, Р3 на конусе, кроме пересечений с плоскостями
Ti, выходит одномерная сепаратриса, соответствующая единственному
положительному собственному числу. Пусть хг ^> 0, тогда вдоль этой
сепаратрисы q2 - q3 = 0, #0 = 0 и уравнения (6.25) принимают вид
Р2 = 0, Р3 - 0, Рх - qx = qx (Р2 + Р3 - Pi).
Поэтому вдоль сепаратрисы Р2 = Р\ = const, Р3 = Р%= const.
Сделав замену времени = #i, получим уравнения
от0
Л = ?1, Ях = ^2 + Рз - Pi,
их решения имеют вид
?1 = - -Р?) Sin Т1-
р^рь+ро- (ро + ро _ po)cos Ti)
где 0 ^ ^ я.
Таким образом, максимум координаты qx вдоль этой сепаратрисы = Р\ + - Р\
== я?" и сепаратриса входит в некото-
рую другую особую точку на конусе К, координаты которой получаются из
координат начальной точки с помощью отображения Т0:
Р\ = 2 (Pl + Pi) - P"v Р\ = Р°2, Р\ = Pi
Это, очевидно, вторая точка пересечения прямой Р2 = Р\, Р3 = = Pi с
конусом F (Pj) = 0. В этой точке х\ = - я? < 0, поэтому вдоль выходящей
из нее сепаратрисы растет координата q2 или q3 и т. д. Для траектории,
движущейся вдоль некоторой последовательности сепаратрис, периодически qt
qj, qx и максимум величины qt за одну осцилляцию приблизительно равен х^\
Следовательно, отображение Г0 на конусе V (Pt) = 0 определяет еще одну
модель колебательного режима.
Отображение Т0 линейно, поэтому для всех точек конуса, лежащих на одной
образующей конуса, закон чередования максимальных величин qt один и тот
же. От положения на образующей конуса зависит амплитуда колебаний,
которая в целом убывает, поскольку последовательность точек (Р\) = Т\
(Р\) сходится к вершине конуса Pt = 0. В силу линейности отображение Г0
определяет отображение Г, действующее на окружности S1, получаемой
сечением конуса плоскостью jPx jP2 jP3 = - 2.
88
КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ БЕЗ ДВИЖЕЙЙЙ ЙЕЩЕСТВА [ГЛ. 11
Отображение Т, очевидно, совпадает с отображением (6.16), полученным в п.
III при исследовании сепаратрис особых точек на окружностях (*ф, г) (см.
рис. 10). Таким образом, аппроксимация траекторий динамической системы
(6.25) сепаратрисами особых точек, лежащих на конусе V (.Pt) - 0,
приводит к полученной ранее геометрической модели колебательного режима и
добавляет к ней описание последовательного изменения амплитуды колебаний
максимальных величин qt. Это описание справедливо для любого конечного
числа колебаний на траекториях системы (6.25), начинающихся достаточно
близко к особым точкам конуса К.
VIII. Асимптотики модели Тауба с материей около особенности.
