Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
(7-7)
Оценим интеграл
/
оо оо
_ Г____________________________ds__________________= - С
J ((d2 4- s) (d2 4- s) (dl 4- s^U/2 d3 J
((d2 + s)(d2 + s)(d2 + s))i/2 d3 J ((62 + s)(62 + s)(1+s))i/2
где 6X >= d^dg, 62 = d^/dg. Очевидно,
(S? + s) (61 + s) = (6A)* + (6? + bl)s + s2 > (6A + s)2. Поэтому
oo
/<J_f_____________*___________=
3 % (SA + sMl + s)1'2
V
- 1 (t d*________________________1_ [ ds_________________\ <
d3 U (Sl62 + s)(l + s)1/a j (6162 + s)(l+s)1/2
У oo
< ~dT 6 (6162 + ") + S , (1 +V/a ) =
= * (in. .gA + у . + ln Vi + v +1^
<*3 \ $ 1^2 ~Y 1 -j- У - 1 '
(in(1 + у)-^4=-il- In6i62).
d3 \ v V 1 + у - 1 /
<_з;
Минимум первого слагаемого достигается при г/ - (1 + У5)/2. Отсюда
получаем оценку
г ^ 1 //т , о с х ^ п 1 + У5 т
оч
§ 7] О НЕВОЗМОЖНОСТИ КОЛЛАПСА ПРИ НАЛИЧИИ ВРАЩЕНИЯ 280
С учетом (7.7) и (7.8) получаем оценку интеграла энергии Н
(7.1):
+ " 3?Л/ 1 /п , ССЧ
О >g> 1 +' +
Умножив это неравенство на 2d3/3GM, получаем
A2 Rd4"3V
1ё- + ^-(Сг-1пх)<0, (7.9)
где
А*-Ш±Ш- В_____________2"_ -
12GMt ' Р- 3GM ' 1 2'
Из неравенства (7.9) после отбрасывания первого слагаемого следует
неравенство
, (7.10)
где
r _ ехр (С/^ - 1)) ___ехр (Сх (у - 1)) ^ 4
Поскольку (In z)/z < е~г, то неравенство (7.10) определяет верхнюю оценку
для d3:
*<Г**" = С.- (7.11)
Для получения нижней оценки величины х - бхб2 преобразуем (7.9) (разделив
на d3) к следующему виду:
( А0 Сг - lnx у ( Сг - 1пх\* ___Р
V d3 2Ло
Отсюда, отбрасывая первое слагаемое и используя оценку (7.11), получаем
неравенство
(7.12)
Z1
где
n _ (V - 1) р1/а ехр (- Ct (у - 1)/2) . _ ехр (- Сд. (у
- 1)/2)
0 (js(y-i)/t °' 1 ^.(v-D/2
(7.13)
Из неравенства (7.12) следует, что /)0 "< е-1 - ограничение величины
интегралов / и К для движений с отрицательной энергией.
Из (7.12) получаем DqZx < In Z)0zx - In D0 < e~xD^,r - In D0.
Следовательно, Zi<--r . Отсюда получаем оценку снизу
е - 1 jJq
290
ДИНАМИКА ГАЗОВОГО ЭЛЛИПСОИДА
[ГЛ. VII
Переходя к выводу из (7.14) нижней границы для d1? d2, укажем нижнюю
границу для d3. Из неравенства (7.9), отбрасывая второе слагаемое,
получаем
Теперь из (7.14) и (7.15) легко следует оценка снизу для полуосей
эллипсоида:
Выведенные неравенства (7.11) и (7.16) определяют (при у < 4/3)
двусторонние оценки полуосей эллипсоида dt для движения с отрицательной
энергией Н и | / |2 + I К I2 Ф 0 и доказывают невозможность коллапса
эллипсоида при наличии вращения газа. Движение газового эллипсоида при #-
>- оо, как показано в § 6, происходит в колебательном режиме в состоянии
сильного сжатия, однако, как следует из вышеизложенного, объем эллипсоида
(при наличии вращения газа) остается ограниченным снизу.
§ 8. Колебательный режим движения
с положительной энергией
I. Рассмотрим поведение динамической системы на многообразии S при Н >
0, у ]>4/3. Особыми точками системы (5.6) в координатах W1 являются
множества Кг = К+ (J К_, Ф+, Ф_," L, свойства которых те же, что и при Н
0 (см. § 6). Перечислим особые точки, которые не покрыты координатами Wi,
т. е. лежат на инвариантном многообразии (w - 0) в координатах W2, и
укажем собственные числа системы (5.8) в этих особых точках,
1) М1е: и t= 1, w = 0, р{ - ъуь s *= ±1.
Особые точки Мг_ являются отталкивающими, а особые точки Ми являются
притягивающими.
j -^ _________о
3 ^ In [(exp CJ/x]
Используя оценку снизу для х (7.14), находим
In [(е/(е - 1)) (In D0)/D0)]
(7.15)
2/(v - 1) I In [((" - l)/e) (D0II In D01)] I
(7.16)
ДВИНСЕЙИЕ С ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИЕЙ
291
2) Мог: и = О, w •= 0, pi = вyt, е = ±1.
Это невырожденные и неустойчивые особые точки.
3) N0: и - 0, w <= О, V Ы - 0.
В особых точках N0 имеются три ненулевых собственных числа:
П
^i = - (У - 1) (переменная w),
к=1 к
П
^2 = (y - 1) (переменная и), (8.1)
к-1 к
п
'k3T=^li~df~ Рк (переменные г/j).
*=х к
П
Отсюда следует, что особые точки N0 при у1| р^ф 0 невырож-
к=1 Ук
денные и неустойчивые.
4) Nx: и = 1, ш - 0, V (у>) = 0.
Эти особые точки являются границей (при w 0) множества
особых точек Кг (см-. § 6) и, как и точки Къ имеют два ненулевых
собственных числа противоположных знаков:
п
ki = (l - Ри (переменная и),
"=х *
i dV (8-2) ^2= y_,~fa-Pk (переменные уг).
ifel Ук
Удобно разбить каждое из множеств N0 и N± на две части: iV0_,
П \ П
Nx- ^здесь ^j-^f-Pk < 0j и N0+, Л^1+(здесь ^ - рк > 0|. Легко
fr-1 к=1
видеть, что сепаратрисы неустойчивых особых точек N0_, Лг0+ лежат на
компоненте границы Г," (w = 0) и на угле границы Г0 П Г2 (и = 0, V (г/г)
= 0), а сепаратрисы неустойчивых особых точек Nt_, N1+ лежат на углах
границы Г№ Гх (и; = 0, и - 1) и Г№ П Г2 (w = 0, V (yt) *= 0).
П
5) Вырожденные особые точки Ьг: w = 0, V (у) - 0, ^ рк -
к=1 к
= 0, координата и произвольна. Множество Ьх имеет своими границами
пересечениеN0_ f] N0+ (прим = 0)иNt_ f] N1+ (при и - 1).
292
ДИНАМИКА ГАЗОВОГО ЭЛЛИПСОИДА
ini. vtt
И. Переходя к построению сепаратрисной диаграммы при Н !> О, отметим, что
сепаратрисы неустойчивых особых точек Noe? Nu, Ке лежат на следующих
