Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
fc=i
лежит в координатах Wv Все особые точки динамической системы
(5.6) при Н ^ 0 и у < 4/3 лежат на границе Г и образуют четыре множества:
Кг, Ф+, Ф_, L.
1. Особые точки Кх (и = 1, V (у) = 0) - пересечение инвариантных
подмногообразий 1\ (и = 1) и Г2 (V (у) = 0). Эти
особые точки являются невырожденными (при Рк Ф о)
*=1 к
и неустойчивыми и имеют два ненулевых собственных числа:
п
^1 = (1 - у) y\~af-P* (переменная и), fe=i к
П
%*=Yj~W~Ph' (пеРемеННЫе Vi)-
ДВИЖЕНИЕ С ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИЕЙ
283
Остальные 2п - 2 нулевых собственных числа соответствуют направлениям,
касающимся многообразия Кг. Знаки собственных чисел и Я2 ввиду у 1
противоположны, т. е. точки Кг имеют седловой тип. Удобно разбить
множество Кг на две части:
имеет одну входящую сепаратрису, идущую по многообразию Г2, и одну
выходящую сепаратрису, идущую по многообразию Г1э а точки К_ - наоборот.
2. Особые точки Фг(и = 1, pt = &yt, w = 1/2, 8 = ±1,
Vi = Уд - 3^Qjk), Qjk - ортогональная матрица. Собственные числа системы
(5.8) в особых точках Фе имеют вид
2
= - 0(4 - Зу) (переменная и),
2
=~з"8 (переменная го),
Первые шесть собственных чисел отвечают "диагонализуемым" сепаратрисам,
т. е. решениям, имеющим вид F (t) = Q"D (t), где D (?) - диагональная
матрица. Согласно (6.2), особые точки Ф8 являются невырожденными и
неустойчивыми. При этом каждая точка трехмерного множества Ф_ имеет
четырехмерную входящую сепаратрису, образованную диагонализуемыми
решениями со сферически-симметричным характером сжатия, обобщающими
точные сферически-симметричные решения, и одиннадцатимерную выходящую
сепаратрису (лежащую на границе 1\ на нулевом уровне энергии). Поэтому
сферически-симметричное сжатие является неустойчивым (уже в классе
диагональных решений). Свойства особых точек Ф+ тождественны свойствам
особых точек Ф_ при противоположном направлении времени.
dV
3. Вырожденные особые точки L: V (у) = 0, ~х- = 0, рии про-
У г
извольны. В этих особых точках матрица Уд двукратно вырождена. Таким
образом, у системы (5.6) при Я 0, у <4/3 нет устойчивых особых точек; это
является одной из причин существования колебательного режима.
К+ - J-pРь > oj и К_ Pk < oj. Каждая особая точка К+
(6.2)
284
ДИНАМИКА ГАЗОВОГО ЭЛЛИПСОИДА
(ГЛ. VII
II. Как отмечалось выше, сепаратрисы особых точек К+, К_ лежат на
инвариантных многообразиях Гх и Г2. Рассмотрим систему (5.6) на этих
многообразиях.
1) Система (5.6) на многообразии Гх (и = 1) описывает движение
пылевого гравитирующего эллипсоида. В работах [164, 174] показано, что в
процессе движения пылевого гравитирующего эллипсоида с отрицательной
энергией Н объем эллипсоида (det || Fjk ||) дважды обращается в нуль, т.
е. расширение из сжатого состояния сменяется сжатием. При этом для почти
всех решений эллипсоид в начальном и конечном состояниях сжат в диск, т.
е. dx = О, d2 Ф 0, ds Ф 0. В координатах Wx этот результат означает, что
почти все траектории системы (5.6) на многообразии Гх при Н <С 0 имеют
начало и конец на многообразии особых точек К± (V (у) = 0, и = 1) или для
почти каждой особой точки К+ выходящая из нее сепаратриса идет в
некоторую особую точку К_.
2) Систему (5.6) на многообразии Г2 (V (у) = 0) можно проинтегрировать
явно. Траектории этой системы во времени т, определенном выражением dx =
21/2 (7 - 1) (1 - м-) | grad V(y°i)\dx1, даются формулами
о - sin т - sin т0 , -о cos т0
Vi = У*' Pi = 2l/2s<-----^7-^ + Р* -ШТ ' _
(6.3)
COS2 То
и = ¦
COS2T
0 grad V (j/(r)) _0 0
Здесь yi,$i= --------, 17/ п , т0) Рг - КОНСТаиТЫ, причем V (Уг) = О,
| grad V (j/V) I
П 71
2 p°kSk = 21/2 tg То < О, I т01 < я/2, ? pksk = 21/аtg т.
Траекто-
k=1 k=i
рия(б.З) определена при т0 т0 и идет из особой точки (р?, у\,
и = 1), принадлежащей Х_, в особую точку (р\ = pt (-т0), у\, и = 1),
принадлежащую К+ (следовательно, все траектории (6.3) являются
сепаратрисами особых точек К+ и К_). Легко видеть, что конечная точка
траектории (6.3) (р* = pt (-т0)) получается из начальной точки (р\) путем
отражения ее в плоскости, касательной к поверхности V (уь) = 0 в точке
(у\).
III. Полученные результаты приводят к следующей сепаратрисной диаграмме:
.. (6.4)
Здесь показанные стрелками отображения обозначают переход по сепаратрисе
из ее начальной точки в конечную. Отображения I и
II осуществляются сепаратрисами, идущими по многообразиям
ДВИЖЕНИЕ С ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИЕЙ
285
Гх и Г2 соответственно. Сепаратрисные переходы между множествами К+, К_ й
Ф8, L не показаны в диаграмме (6.4) ввиду того, что для почти всех особых
точек i?+, К_ вся бесконечная последовательность отображений (6.4) не
выводит за пределы множеств
Бесконечная последовательность сепаратрис, определенная диаграммой (6.4),
является аппроксимацией траекторий системы
(5.6) при больших отрицательных энергиях Я, а также при 8сх
Р = "3gjj- Действительно, функция Н (см. (6.1)) ограничена
снизу на многообразии S везде, кроме компонент границы 1\ (и - 1) и Г2 (V
