Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
точке Р0 (аналогичная ситуация поясняется рис. 39; см. § 2).
Следовательно, при h-> 0 итерации отображения а? о al в любом конечном
числе приводят к близким точкам и поэтому соответствующая
последовательность сепаратрис
(8.7) содержит любое конечное число переходов между множествами N0- и
N0+.
Переходы между множествами N0- и N0+ в общем случае обрываются попаданием
точки на множество М18, где pt = eyt. Причиной этого является то, что при
отображении а\ о а] расстояние между точками (р\к)) и (г/?*) уменьшается.
Отметим, что кроме циклических переходов между множествами N0_, N0+
сепаратрис-ная диаграмма (табл. 7) содержит также циклические переходы
между множествами К-, К+ и N0_, N0+, N1+, N±- Однако при w ->¦ 0
соответствующие последовательности сепаратрис стремятся к
последовательностям (8.7).
Рассмотрим траекторию системы (5.8), выходящую из особой точки М1тт
близко к компоненте границы (и?= 0). Такая траектория будет все время
оставаться вблизи последовательности сепаратрис (8.7) и также попадет в
притягивающие особые точки М1+. Нахождению траектории системы (5.8) в
окрестности особых точек Мг_ и М1+ отвечают соответственно инерциальное
сжатие газового эллипсоида из бесконечно разреженного состояния и
инерциальное бесконечное расширение эллипсоида. Нахождение траектории в
окрестности особых точек N0-,~N0+ (где det || Уд || =
- V (Уг) = 0) означает, что эллипсоид сжат в диск вдоль собственного
вектора матрицы Уд, поэтому переходам траектории между множествами N0._ и
N0+ отвечает некоторый колебательный режим движения эллипсоида. Используя
определения Haw, нетрудно получить, что
Из уравнения (6.5) следует, что при движении траектории системы
(5.8) вдоль сепаратрисы al объем эллипсоида det || Fjk || достигает
минимума, который в силу (8.4) и (8.8) равен
det || ^|| = F(gi)= (а
1 + 2 (1 - 2и)ю \l/(Y-D 2Я (1 - и) w )
)
(8.8)
min det || Fjlt || == (а
1 + 2w* \i/(v-D 2 Яи>, )
(8.9)
где w* определено (8.6). При движении траектории вдоль сепара-
296
ДИНАМИКА ГАЗОВОГО ЭЛЛИПСОИДА
[ГЛ. VII
трисы a? det || Fjk || достигает максимума, который согласно (8.3) и
(8.8) может быть как угодно велик. Отметим, что при произвольной величине
энергии Н 0 имеются траектории системы (5.8), достаточно близкие к
последовательности сепаратрис (8.7). Отсюда следует, что при больших Н
имеются движения газа, в которых det || Fjk || колеблется от сколь угодно
малого минимума (см.
(8.9)) до сколь угодно большого максимума, при этом осцилляции
Ж ю
плотности газа р = ^ ц сколь Уг°Дно велики. Время осцил-
ляций зависит от способа приближения траектории к последовательности
сепаратрис (8.7).
Таким образом, мы доказали, используя сепаратрисную аппроксимацию (8.7),
что при наличии вращения и (кинетиче-
ская энергия много больше потенциальной) имеются следующие движения
газового гравитирующего эллипсоида:
1) первоначально газ сжимается из состояния бесконечного разрежения;
2) затем начинается колебательный режим: газ сколь угодно большое
число раз сжимается и расширяется по изменяющимся направлениям, причем
при больших энергиях Н амплитуда осцилляций плотности сколь угодно
велика;
3) колебательный режим заканчивается бесконечным расширением газа.
Отметим, что движение точки на многообразии S по последовательности
сепаратрис (8.7) в координатах yt представляет собой свободное движение
точки по геодезическим на восьмимерной сфере S8 в области det || Уд || >
0, причем точка отражается от границы det || Уд || = 0 по закону упругого
отражения. В этом смысле математической моделью колебательного режима
движения газа при наличии вращения является геодезический биллиард на
сфере Ss с упруго отражающей поверхностью det || Уд || = 0. При
отсутствии вращения газа (матрица Уд диагональна) поверхность det || Уд
|| = 0 вырождается в три координатные плоскости и поэтому реализуются
только три колебания - три последовательных сжатия и расширения
эллипсоида по ортогональным осям.
Описанный колебательный режим может служить моделью движения облака
расширяющегося и вращающегося газа, образовавшегося в результате взрыва
вращающейся сверхновой звезды.
§ 9. Заключительные замечания
Приведем краткое описание найденных в данной главе колебательных режимов
движения гравйтирующего газового эллипсоида. Исследование движения
гравитирующего газового эллипсоида, как доказано в § 4, эквивалентно
исследованию динамикц
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
297
следующей лагранжевой системы, определенной в пространстве трехмерных
матриц:
с* I
*П(*)
dt2
= - a . + 4.0ЛГ-ВД-
М1 2 ал
F (F) = det F, U(F)=J ((dj + s) (d* + s) (d23 + s)y-Vt ds.
(9.1)
Если полуоси эллипсоида dx, d2, d3 сравнимы друг с другом (dt ~ d), то
-f- GMU (F)----------------GMd ~GM 9V
2 2 2 a/?"
d-
ду(1-У)
dli
(9.2)
Эти простые оценки будут использованы ниже.
I. Колебательный режим расширения в вакуум вращающегося газового облака.
Рассмотрим движение сильно расширившегося газового эллипсоида с полной
