Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Богоявленский О.И. -> "Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике" -> 104

Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.

Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике — М.: Наука, 1980. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikachestvennoyteoriidinamicheskihsistem1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 98 99 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110 .. 121 >> Следующая

(1.25), параметризующееся постоянным значением энергии Е (0 < Е < оо). В
силу масштабной инвариантности относительно группы преобразований (1.26)
время t движения вдоль траектории связано с энергией Е соотношением
Таким образом, мы доказали, используя сепаратрисную диаграмму (2.8), что
существуют следующие движения идеального газа: 1) первоначально газ
сжимается из состояния бесконечного разрежения; 2) затем начинается
колебательный режим: газ сколь угодно большое число раз сжимается и
расширяется по изменяющимся направлениям, причем амплитуда осцилляций
объема det || Fjk || в силу (2.9)-(2.10) может быть сколь угодно большой,
а следовательно, при больших Е сколь угодно велики осцилляции плотности
р, тогда как время осцилляций, согласно (2.11), может быть сколь угодно
малым; 3) колебательный режим заканчивается бесконечным свободным
расширением газа.
Отметим, что колебательный режим существует даже в том случае, если
первоначальное распределение газа было близким к сферически-симметричному
распределению. Далее, из (2.10) и
(2.5) следует, что для движений с ограниченной энергией Е и
(2.10)
^1/2+1/(3(г-1)) = const.
(2.11)
274
ДИНАМИКА ГАЗОВОГО ЭЯЛИЯЯОЙДА
ivst. Vlt
с большим числом осцилляций det || Fjk || все время велик и поэтому газ в
колебательном режиме остается разшшенны^.
Подчеркнем, что исследованный в данном шфаграфе колебательный режим
движения газового эллипсох^да реализуется за счет одних лишь сил
внутреннего давления пук наличии вращения газа (интегралы J и К Ф 0). В §
8 мы покажем, что этот колебательный режим сохраняется также при цаличии
гравитационного взаимодействия частиц газа.
§ 3. Исследование одноЗ задачи в теории мелкой воды
Аналогом задачи о расширении газового эллипсоида в вакуум в двумерной
гидродинамике является задача о растекании вращающегося жидкого эллипса в
теории мелкой воды (в этом случае 7 = 2; см. главу VI, § 6, п. II). Эта
задача сведена к квадратурам в работе [161]. Однако полученные в [161]
явные формулы настолько сложны, что исследование их явилось бы отдельной
трудной задачей. Покажем, независимо от предыдущего изложения и не
исследуя явйых формул, что в двумерной задаче (или в задаче о разлете
эллиптического цилиндра) также существует колебательный режим,
аналогичный описанному в § 2.
В пространстве двумерных матриц Ец введем координаты db dfr <рх, <ра
такие, что
^12 \ [соэф! -sinqjjWd! 0 Wcos<pa - зтф2\ ^
'^21 ^22' \зтфх еозфх/ lo (Jhj \ sin ф2 созф2/ ' ' '
Лагранжиан (1.24) для двумерной задачи имеет вид L = -g- ($i + <^2 4" (фг
Ф2) (^i "Ь ^2) + 4ф1ф2^1^2) - ° (^1^2) (3.2)
Координаты фх и ф2 являются циклическими координатами, и
dL т dL Тт
поэтому соответствующие импульсы рф1 = - = / и Рц>2= = - К
сохраняются. Интегралы / и К совпадают соответственно с интегралом
момента количества движения и вихрем (см. (1.12)).
На плоскости dx, d% введем полярные координаты г, ф:
dx - г cos ф, dz = г sin ф. (3.3)
Лагранжева система с лагранжианом (3.2) в фазовом пространстве dL dL
pj.z?±i рф=х=s-- , г, ф переходит в гамильтонову систему с гамильтонианом
н = \ (рг + -4г (4- Р% + и (ф))) " (3-4)
§ з] ОДНА ЗАДАЧА В ТЕОРИИ МЕЛКОЙ ВОДЫ 275
Эта сиотема после замены координат г = \!х и замены времени dx/dt = 1/г2
распадается на две гамильтоновы системы с гамильтонианами \
# = - ~ргг-х2Но, Но = -4- p%-\-V (ф). (3.5)
Из (3.4) следует, что (при а = +1 и J Ф -К) U (ф) при ф ->0, я/4. Таким
образом, угол ф колеблется в потенциальной яме, определенной потенциалом
U (ф). Колебания угла ф обусловливают изменение соотношения полуосей
эллипса dx, d2 и являются отражением общего колебательного режима § 2
(рис. 40).
Оценим число малых колебаний угла ф вблизи положения равновесия
Ф° (ф°) = о) за все время Т существования решения. За время Т координата
х изменяется от 0 (г2 = + df = оо)
до максимума xm = | Н |*/2 | Н0 | и снова доЧ). Отсюда время Т = я
(2Н0)"1/2.
Период ^Гф малых колебаний угла ф, как известно, равен Гф^2я (?7ф
(ф0))"1/2.
Вычисления показывают, что при J ^
^ К^> 1 корень уравнения0 равен ф0 = (2JK)~V2. В этой точкеЯ0 = s и (ф)
и ul (фо) = 4 (2JKf!\
Отсюда Т = л (J2 + К2)~112, =
Рис. 40. Вид потенциала U (ф): а) о = +1, / Ф
Ф -К; 6) <5 = -1,
^-?>1, /ф-К.
= я (2JK)~V*. Число колебаний =
= . Следовательно,
Гф (72 + ?а)1/2
при J^K-^oo число колебаний N становится сколь угодно большим и растет
как /1/2. Нетрудно показать, что малые колебания угла ф с амплитудой ~ фо
2 ф0 обусловливают колебания величины 81^§ф- = det || Fц ||.
В двумерной задаче, аналогичной задаче о сжатии капли под давлением, где
а = -1, потенциал V (ф) - оо при ф ->0
и U (ф) -v+oo при ф ->я/4 (см. рис. 40). При J ж -К 1, J ф -К потенциал U
(ф) при 0 < ф < я/4 имеет два экстремума: максимум фх и минимум ф2, при
этом U (фг) 0. Решения, в которых угол ф колеблется в окрестности
минимума фг, не имеют физических особенностей - ? вих сжатие из
разреженного состоя-
276
ДИНАМИКА ГАЗОВОГО ЭЛЛИПСОИДА
Предыдущая << 1 .. 98 99 100 101 102 103 < 104 > 105 106 107 108 109 110 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed