Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Богоявленский О.И. -> "Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике" -> 103

Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.

Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике — М.: Наука, 1980. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikachestvennoyteoriidinamicheskihsistem1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 121 >> Следующая

точки L не влияют на описываемые ниже режимы.
Отображения а_, |3+, а+ осуществляются сепаратрисами (2.2), идущими по
компоненте границы Г0 (w = 0). Вдоль этих сепаратрис коордидаты] ру = р\
= const, а координаты уу изменяются
§ 2j кол^ба^еЯЬйШ решим Движения ^лзбвбго Ьбйа^а Й71
по кратчайше^ дуге большого круга, проходящего через точки (Ру) и
(Уу){(ру, $t) - начальная точка сепаратрисы)* В отталкивающих особых
тотках имеем р\ = -у*- Через две точки (р° = -1/1J) и (г/5) на единичной
сфере SП~1 проходит (п -2)-мер-ное множество большйх кругов, поэтому
отображение а_ неоднозначно. Отметим, что пересечение каждого такого
круга с в интересующем нас4 случае (|л = 3) всегда существует.
Отображение осуществляется сепаратрисой
(2.3), идущей по компоненте границы Тх (U (уу) = 0).
Вдоль этой сепаратрисы Уу = Уу = const. Конечная точка (ру, у у, w = 0)
получается из начальной точки (/>Y "0yi w== 0) путем отражения точки (р?)
в плоскости Z, касательной к поверхности U (уу) = 0 в точке (г/J).
Очевидно, конечная точка принадлежит N+.
Пусть расстояние от точки (р(r)) до плоскости I равно h. При малых h
кратчайшая дуга большого круга, соединяющего точкй (р\) и (г/?), имеет
пересечение с поверхностью V (уу) = 0 в точке (у^), близкой к точке (г/5)
(рис. 39). (Предполагается, что поверхность U (уу) = 0 в точке Уу выпукла
в сторону нормали. Такие точки (уу) в рассматриваемом случае существуют.)
Итак,
Р- (Pv> Уу) = (Pvt У?)* Р+ (Pv> Уу) ~ (Pv> Уу)* (2-7)
Точка (ру, у у) при h -> 0 бесконечно близка к точке (р5, У у)* и
повторение отображений р+ снова приводит к близким точкам. Поэтому при А0
сепаратрисная диаграмма (2.6) дает любое конечное число переходов между
множествами и N+:
M_^N_hN+h...hN+%M+. (2.8)
Отметим, что расстояние между точками (plj,) и (г/^) при отображении не
изменяется, а при отображении р+ уменьшается, поэтому колебания между
множествами N_ и N+ всегда обрываются попаданием точки на множество Af+,
где р7 = Уу.
Движение точки по последовательности сепаратрис, определенной диаграммой
(2.8), в координатах уу представляет собой
Рис. 39. Последовательное изменение особой точки (р*, Уу) при
сепаратрисных переходах (2.2) и (2.3).
272 ДИНАМИКА ГАЗОВОГО ЭЛЛИПСОИДА у/ 1ГЛ. VII
свободное движение точки по геодезическим на единичной сфере 5П"1 в
области U (уу) > 0, причем точка отражается от поверхности U (уу) = 0 по
закону упругого отраженияДсм. (2.7)). В этом смысле математической
моделью описываемой ниже режима является геодезический биллиард на сфере
S 1 с отражающей поверхностью U (уу) = 0. /
IV. Перейдем к выводам из полученной сепаратрисной диаграммы (2.6),
(2.8).
Сепаратрисная диаграмма (2.8) реализована сепаратрисами, идущими по
границе Г0 и Тх физической области S, и поэтому ей не отвечает никакое
точное физическое решение. Однако существуют физические траектории (w Ф
0, U (уу) Ф 0), идущие сколь угодно близко вдоль всей последовательности
сепаратрис (2.8). Отрезок такой траектории, выходящий из отталкивающей
особой точки М_, отвечает сжатию газа по инерции из бесконечно
разреженного состояния, а отрезок траектории, входящий в притягивающую
особую точку М+1 соответствует бесконечному свободному расширению газа.
Внутренняя часть диаграммы (2.8) описывает чередующиеся сжатия и
расширения газа. Действительно, в задаче о газовом облаке U (qt) = det ||
Fjk || и условие V (yv) = det || Y jk || = 0
( ^ Y^k = 1) означает, что газ сжат по нулевому собственному
Ч * 1
направлению матрицы || Yjk ||. Поэтому близость траектории к неустойчивым
особым точкам N_ или N+ означает, что эллипсоид постоянной плотности газа
имеет сильно сжатую форму.
Далее, согласно (1.31), - ~ - U (д^ Ру] • Поэтому
V-1 v
п
в окрестности N. Pv< о) О (qt) = det || Fjk II
уменьшается, т. е. газ сжимается, а в окрестности N+ Ру о)
ify
V-1
det || Fjk || увеличивается, т. е. газ расширяется. Следова-
Р-
тельно, на отрезке траектории, отвечающем переходу iV_ -> N+, существует
минимум объема газа, а на отрезке траектории,
Э+
отвечающем переходу N+ -> существует максимум объема
газа.
Для определения величины объема (det || Fjk ||) в этих экстремумах
предположим, что движение газа, соответствующее выбранной траектории
системы (1.24), имеет полную энергию Е. По
§ 2] к<Цебательный режим движения газового облака 273
опред
* =---8---
Отсюда
(2.9)
Поэтому минимумы объема, достигаемые на отрезках траектории,
Р-
отвечающих переходам N_ -> N+, приближенно равны следующей величине:
где Wy, дается формулой (2.5). Для траектории, достаточно близкой к
последовательности сепаратрис (2.8), величина (2.10) достигается сколь
угодно точно. Максимумы объема det || F^ || достигаются на отрезках
траектории, близких к сепаратрисам, осуще-
0+
ствляющим переход N+ где w = 0. Поэтому значение
max det || || может быть сколь угодно большим (см. (2.9)).
Отметим, что каждой траектории системы (1.31) в координатах? (1.27)
отвечает однопараметрическое семейство траекторий исходной системы
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed