Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
инвариантных подмногообразиях: Ги Г2, Гю, Го п г2.
Система (5.6)-(5.8) на многообразии Г\, как уже отмечалось, описывает
движение пылевого гравитирующего эллипсоида; этот вид движения изучен в
работах [163-165, 174]. Система (5.6) на многообразии T2(F (у) = 0) при и
Ф 0 проинтегрирована явно (см. (6.3)). Систему (5.8) на многообразиях и
Г0 f] Г2 также можно явно проинтегрировать.
1) Траектории системы (5.8) на многообразии (w = 0) имеют
вид
Здесь р°, yl, т0, С - константы, причем th т0 =21 РнуЬ Время т
связано с т2 по формуле d% = V {yi)d%2. Траектория (8.3) в координатах yt
при т ]> т0 движется по дуге большого круга на единичной сфере S'71"1,
проходящего через точки у\ и р\. Концы траектории (8.3) лежат на
множествах особых точек М или N, т. е. каждая траектория является
сепаратрисой некоторой особой точки.^ На угле границы rw П Г2 (w = 0, V
(у) = 0) лежат траектории, вдоль которых изменяется только координата и
(от 0
2) Траектории системы (5.8) на многообразии Г0 f] Г2 (и - 0f
V (у) ^ 0) имеют следующий вид:
о sh т - sh т0 ch т
(8.3)
С (ch t)3V"4 U {у.) (V 0/4))у"1 и~ 1 + С(скт)*У-*и(у.)(У(у.))У-1
п
До 1).
(8.4)
ch2 т0 - ch2 т w- ГЗРт *
константы, причем
п
п
2 Р*** - thTo<^0, 2 Ph^k - thT.
(8.5)
Время т в (8.4) определено выражением dx = dx2w (у-1) х Х| grad V (yl) \.
Траектория (8.4) имеет начальную точку (р\, у\,
движение с положительной энергией
w ь= 0, и = 0) при т ^ т0 на iV0_, конечная точка этой траектории (Pi
(т0> т *= --т0, г/?, ^ = 0, гг - 0) в силу (8.5) лежит на N0+. Конечная
точка pt (-т0) получается из начальной точки (рЧ) отражением в плоскости,
касательной к поверхности V (yt) = 0 в точке (у\). Максимальное значение
w вдоль траектории (8.4) достигается при т - 0 и равно
ь. , (SW
=-------"_---------- (86)
2('-(2 М)')
fc=1
Результаты интегрирования сепаратрис собраны в сепарат-рисной диаграмме
(табл. 7), где использованы следующие обозначения: .
а) В заполненном квадрате символ а% означает сепаратрису, идущую из
множества особых точек в верхней строке, в множество особых точек в левом
столбце, число перед символом а\ есть полная размерность этой
сепаратрисы. Пустой квадрат означает отсутствие сепаратрисы. Цифры над
буквами в верхней строке означают размерность множеств особых точек
(напомним, что размерность многообразия S равна 18).
б) Буквой S1 обозначены инвариантные подмногообразия в физической
области многообразия S, на которые, вообще говоря, могут наматываться
некоторые сепаратрисы особых точек М1г.
Особые точки Фе, L, Lx не включены в сепаратрисную диаграмму ввиду того,
что их сепаратрисы имеют меру нуль в пространстве всех сепаратрис и для
почти всех остальных особых точек бесконечная итерация отображений,
определенных диаграммой табл. 7, не выводит за рамки этой диаграммы.
Сепаратрисная диаграмма для случая Н ^ 0, у <4/3 отличается от табл. 7
некоторым изменением сепаратрис особых точек Мое, М1е и включением
неустойчивых положений равновесия Р, лежащих в физической области S±.
Описываемый ниже колебательный режим движения эллипсоида в равной степени
относится и к случаю у 4/3, Н > 0.
III. Согласно сепаратрисной диаграмме табл. 7, на границе Г имеются
следующие последовательности сепаратрис:
1 7 8 7 8
СХч во &7 во вл
Мг- -lN0-->N0+-l...Z N0+ л М1+. (8.7)
Покажем, что имеются последовательности (8.7), в которых число переходов
между множествами N0~ и N0+ сколь угодно велико. Возьмем точку (*/•) на
поверхности V (у{) = 0. Пусть пг - нормаль и I - касательная плоскость к
поверхности V (yt) = 0
294
ДИНАМИКА ГАЗОВОГО ЭЛЛИПСОИДА
(ГЛ. VII
Таблица 7
Сепаратрисная диаграмма динамической системы (5.8) при Н ^ 0, у 4/3
8 Мх- 8 Ми. 16 К_ 16 К+ 15 Ni- 15 15 15 N0+ 8 М0_ 8 М"+
¦Уа
Ml-
М1+ 18^2 17 4 16а* 174 94° а11 2
к_ Па\ 17 4
17 а\
Л^1- т\ 16а*
16 4
17 а] 16 4 174 16а(r)
iV"+ 16а8
М"_ 9а"
Мо+ 16 4 " 17ахо
Si а11
в точке (г/?). Проведем через нормаль пг двумерную плоскость V и выберем
направление нормали таким, чтобы кривая, вырезанная на плоскости V
поверхностью V (yi) - 0, была выпукла в сторону нормали пг. Пусть точка
(р°) лежит в плоскости V по отрицательную сторону от нормали на малом
расстоянии h от плоскости L Точка Р0 *= (р°, I/?, ш = 0, w 0) лежит на
N0-. Сделанный выбор точки Р0 предполагает наличие вращения эллипсоида.
Точка Рг = al (Р0), согласно определению отображения а\ (см.
(8.4)), имеет координаты (р}, у\, w *= 0, и = 0), где точка (р!)
получается из (р?) путем отражения в плоскости I. Очевидно, точка
ДВИЖЕНИЕ С ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ЭНЕРГИЕЙ
295
Pt принадлежит N0+. Точка Р2 - а\ (.Рх), в силу определения отображений
а? (см. (8.3)), имеет координаты (р\, у\, w = О, и = 0), где точка (у\)
является точкой пересечения кратчайшей дуги большого круга на ?n_1,
проходящего через точки (р\) и (у\), с поверхностью V (yt) = 0. Очевидно,
что при малых h точка Р2 = а? о а\ (Ро) сколь угодно близка к начальной
