Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
пульсаций переменных звезд-цефеид. При у ^ 4/3 и Ег < О происходит
коллапс газового шара в центр симметрии.
Динамика системы (4.9) при а = 0 (давление р - 0) - движение пылевого
гравитирующего эллипсоида - изучалась впервые в работах [163, 164] и
имеет приложения в теории образования галактик (см. [165, 74]). Динамика
системы (4.9)-(4.10) для диагональных матриц FI при а 0, GM 0 изучалась в
работах [169, 170] с помощью численных методов.
§ 5. Преобразование гамильтоновой системы
Переходя к изучению лагранжевой системы (4.9) методами качественной
теории дифференциальных уравнений, мы преобразуем эту систему в
эквивалентную ей систему, определенную на некотором компактном
многообразии S. Для удобства записи гамильтониан jЕГ, соответствующий
(4.10), представим в виде
п
Н = + а?1~у(Яг)~ -Цр-иш, pl==4t. (5.1)
4=1
Здесь координаты qt соответствуют Fjk, V (qt) - det || FJk || - однород-
оо
ная функ; ия степени 3, U (<?{) = § ((df + s) {dt + s) (d\ -f s))-*/2 ds
-
о
однородная функция степени (-1), n = 9. Гамильтонова система,
соответствующая гамильтониану (5.1), имеет вид
Т) дн !А \ тг "/ \ W , 3GM еи
Р>------557=-----a(l-y)V-y (},).s- + -g-
4 (5.2)
вн D v '
ьрк *'
Система (5.2) рассматривается в области Sx фазового пространства,
выделенной условием V (qt) ]> 0, поскольку, согласно (4.3), точкам
поверхности V (qt) = 0 отвечает физическая особенность решения. Введем в
фазовом пространстве Pt, qt две системы коор-
280 ДИНАМИКА ГАЗОВОГО ЭЛЛИПСОИДА / [ГЛ. VII
/
динат Wt и W2. Координаты \\\ имеют вид
Р
pi
(aV^ (q.) + (3GM/8) и (д.))
1/а
(5.3)
(8a/3GM) VM (5.) + ?/(?.)' ^ ^1/,
Лт-1
п
Координаты i/i пробегают единичную сферу S71-1: 2 lA - 1" коор-
г-1
динаты Pi пробегают все евклидово пространство Еп, а координата и
пробегает интервал 0< 1. Отметим, что координаты
гг, у* при у = 4/3 становятся зависимыми, ниже мы полагаем у =?= 4/3.
Координаты W2 имеют вид
Р\
Pi=-----------*--------------p. У*
(s"),rt (snf *=i ft=l (5.4)
1 aYl~V(gi) + (ZGM/8)U (q.)
W = ------------------------------------------•
s n S
k=i k= 1
n
Координаты pi пробегают единичную сферу Sn"1:
а координата w - полуось 0 <C w < °o.
Гамильтонова система- (5.2) в координатах W± и времени тх:
drг (<^1_v (9t) + (ЗСЛ//8) г; (9.))V2
dt П \Р*Ъ)
(2 Ф
к*=1
имеет следующий вид:
pt = (1 - V) (1 - и) (--4-Рг +
к=1
v (у) ( dU 1 _ V1 w - \
U и (у) ( 2 Pi\j дук P*J '
к=1
п
^г=^(у)(р{ - г/" У\ръУъ). (5.6)
' fo=i '
§ 51 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ СИСТЕМЫ 281
Эта же система в координатах W2 и времени т2:
n \i/a
* (,3
___ к=1
dt
(5.7)
fr=l
принимает вид
V(y) I dU VI dU \ + wu n-bf \ST.---PiZj~dy^Pk)
U (У) \
l П \
y'i = v (y) (p{ - I/i S PtVk) ' (5.8)
4 fc=1 7
й - "K W 1.-5Г й -(1 " T) Г|ТГГ ft) '
fr=l fo=l ' n
W = w{^ l_Y)(l_u)(l + 2")Ji-^-pk +
k=l
fr=l
Отметим, что в согласии с определением координат у* и
системы (5.6) и (5.8) рассматриваются лишь на подмногообразиях
S 2/1 = 1, 21р!=1-
fr=i fr=i
Область фазового пространства Sх, в которой определена система (5.2), в
координатах W1? TF2 задается условиями и?]> 0, 0< 1, У (г/г) 0.
Добавим к этой области границу Г,
состоящую из четырех компонент, которые определяются следующими
условиями: IV w = 0; Г0: и = 0; Тх: и = 1; Г2: V (yt) = 0. Обозначим
через ? замкнутое многообразие, полученное в результате такого добавления
границы (на S имеем w ^ 0, 0 и 1, V(yt) > 0). На многообразии S
определена динамическая система, совпадающая в координатах Wx и W2 с
системами (5.6) и (5.8) соответственно. Очевидно, что эти системы
непрерывно продолжаются на компоненты границы Г№, Г0, Га.
Далее, используя явный вид потенциала U (дг) (4.7), можно
показать, что при V (у) = det || Yjk || -> 0 выражения у 0,
поэтому на компоненте границы Г2{У (у) = 0) мы доопределяем
282
/
ДИНАМИКА ГАЗОВОГО ЭЛЛИПСОИДА < [ГЛ. VII
эти выражения нулем - их предельным значением., В результате такого
доопределения система (5.6)-(5.8) непрерывно продолжается на компоненту
границы Г2.
Нетрудно проверить, что все компоненты границы Г и их пересечения
являются инвариантными подмногообразиями динамической системы в S, т. е.
траектория, начинающаяся на некоторой компоненте границы Г, остается на
ней все время. Система, определенная таким образом на компоненте границы
Г0 (и = 0), тождественна системе, описывающей движение газового неграви-
тирующего эллипсоида, а система, определенная на компоненте границы Гх (и
= 1), тождественна системе, описывающей движение пылевого гравитирующего
эллипсоида. Таким образом, динамическая система на многообразии 5,
описывающая движение гравитирующего газового эллипсоида, содержит в себе
также и всю информацию об этих двух предельных видах движения.
§ 6. Колебательный режим движения
с отрицательной энергией
I. Исследуем поведение системы (5.6) при Н 0 и у < 4/3. Гамильтониан Н в
локальных координатах Wx имеет вид
я=-^- (w)1/(4_3V) v (y)<1_v)/<4_sv) х
п
X (6Л)
К=1
п
Отсюда следует, что областьН ^ 0 или -у ^ р\^2и - 1 целиком
