Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
моделей взаимодействия атомов в кристаллической решетке обнаружил
отсутствие стохастизации в системе частиц единичной массы на прямой,
взаимодействие которых определяется потенциалом
V = 2 exp (qi - qi+1),
где qt - отклонение i-и частицы от положения равновесия [1751-В
дальнейшем в этой задаче был найден ряд первых интегралов [176] и с
помощью подбора подходящей L - 4-пары доказана [177, 178] полная
интегрируемость цепочки Тода, которая в периодическом случае qt = qi+n+i
имеет гамильтониан
W+1 п
н = ~2~ ^ pt + 5^ е*Р (9i - Яш) + exp (qn+! - qi)- (1.1)
i==i г=1
Периодическая цепочка Тода изучалась также в работе [179] с помощью
алгебро-геометрических методов.
Очевидно, что в реальной физической ситуации более правдоподобна
реализация некоторого общего возмущения гамильтониана (1.1) - например,
за счет включения парного взаимодействия между всеми частицами, а не
только между ближайшими соседями, и за счет различия масс
взаимодействующих частиц. В связи с этим представляется важным
исследовать наиболее общие режимы динамики возмущений периодической
цепочки Тода и выяснить характер симметрии, выделяющей вполне
интегрируемую цепочку Тода среди ее общих неинтегрируемых возмущений г).
*) В работе [180], независимой от работы автора [20], численными методами
изучалась динамика системы из двух частиц с произвольными массами и
потенциалом цепочки Тода. Результаты работы [180] указывают на наличие
стохастизации траекторий при Н 1, что согласуется с результатами работы
[20], полученными для более широкого класса возмущений цепочки Тода с
произвольным числом частиц.
§ 2] АППРОКСИМАЦИЯ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО РЕЖИМА 301
В данной главе эти вопросы решаются для произвольных возмущений цепочки
Тода в классе гамильтоновых систем вида дН ± дН
'"
(1.2)
Pi~ dqi ' 4i~ dPi
^ П n-j-1
H = - Yj aHPiPj + bkl exp ({<X,C'9} + {ctl'9})*
ij к, I
Здесь alf . . - векторы в м-мерном пространстве Дп,
имеющие координаты ак = (dkl,. . ., dkn), q - вектор (g1? . . ., qn). В
Rn заданы два скалярных произведения (х, у) и {ж, у}:
п п
(•?" ^/) == 23 =:::= 21 ^Уг* (^*(r))
г, У г=1
Векторы и квадратичные формы ац, Ъкг удовлетворяют условиям А и В:
A. Для всякого вектора р в Rn
max (ак, р) > 0. к
B. Для всех к
(а*, ак)Ъкк > 0.
Гамильтониан (1.1) принимает вид (1.2) после перехода к системе "центра
масс", т. е. рх + р2 + . . . + рп+1 *= 0. Отметим, что гамильтоновы
системы вида (1.2) возникают также в теории однородных космологических
моделей. Например, однородная модель IX типа в пустом пространстве (на
уровне Н = 0) описывается гамильтоновой системой с гамильтонианом
н = 2 2 PiPj - i2i Pi + 2 s exp (qi + q}) - 2 exp (2g4). (1.4)
i<j i=l i< j i-X
Вследствие очевидного сходства гамильтонианов (1.2) и (1.4) колебательные
режимы в этих системах обнаруживают общие свойства и допускают единый
вывод, приведенный ниже (в более общем случае), в § 4.
§ 2. Сепаратрисная аппроксимация колебательного режима
Для изучения гамильтоновой системы (1.2) методами качественной теории
дифференциальных уравнений перейдем к координатам
Qk Рг G* л%
30 2 ДИНАМИКА ВОЗМУЩЕНИЙ ЦЕПОЧКИ чоти/ {ГЛ. VIII
где
Qk "= exp ({аь ?}), к *= 1, . . .,/^г + 1, <?* > О,
Р = (pj + • • • + Pn)1/2, G - (^1 + . . . + Qn+i)1/2i
и сделаем замену времени - Р dt. Система (1.2) в координатах
(2.1) и времени тА принимает вид
(S dftidijSj 2 ГidiidijSj) ,
U ij9l
Si = w(-2 Ък1 (dk\ + du) rkrt + Si sfikmidki + dmi) rkrm) , (2.2)
fr, I fc, ?, m
w = 2w( 2 r$ (dkjai^) + w> 2 si&fr! (4i + <*г") Wi).
МД *, м
Эта система определена на 2тг-мерном инвариантном многообразии
Г1 + • • • 4~ гп+1 - 1, S1 + • • • "Ь Sn = 1? w ^ 0, гк 0.
Очевидно, система (2.2) гладко продолжается на границу Г многообразия F,
где и; *= 0, гк - 0, причем компоненты границы Г являются инвариантными
подмногообразиями системы (2.2).
В дальнейшем понадобится также преобразование системы
(1.2) в координаты ru pt, w:
rk = rk (2 dudijPj - 2 ridnaijPj),
iJ,1
Pi = - 2 hi (dm + dlt) rkrtPzw, (2.3)
M
w = 2w{ 2 r| {dnaijPj) + w 2 Pihi (dm + du) rkrt).
ij,j? i, к, I
Система (1.2) эквивалентна системе (2.3), рассматриваемой на инвариантном
2и-мерном подмногообразии
(wp2)(el+...+cn+1y2rc1 . . . = 1, Г\ + . . .+ rl+1
= 1,
где набор чисел ct определен условиями
ciai + • • • + W*n+i ^ ci + с2 ~Ь • • • + cn+i - ci
причем с можно считать нулем или единицей.
Система (2.2) имеет п + 1 множество Mt (i - 1, . . ., т) особых точек.
Каждое множество Мг является (п - 1)-мерной сферой и имеет координаты
Г*- W •= 0, Si + . . . + si = 1.
Точка s на множестве Мк обозначается парой {s, к}.
Собственные числа системы (2.2) на многообразии V в особой точке {5, к}
следующие (в скобках указаны соответствующие соб-
§ 2] АППРОКСИМАЦИЙ КОЛЕБАТЕЛЬНОГО РЕЖИМА 303
ственные направления):
%i *= (a*, s) -- (ак, s) (переменные rz; Z = 1, . .
/г + 1, 1фк),
Хп ь= 2 (а&, s) (перемецная и;), (2.4)
Я^+1 t= . . . = 0 (переменные s*).
Из условия Л (§ 1) и (2.1) следует, что все особые точки Afkl
