Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
(здесь р пробегает те индексы, для которых щ 0; для остальных индексов
рдР = 0). Пусть у = у (р0) (см. (4.3)). Если > 0, то все сепаратрисы
(4.6) при -j-oo идут в особую точку
(Ро> У (Ро)> +1) €= если <С 0 - то в особую точку
(Ро> 7(Ро)>-ljEEW^1* Исключительные сепаратрисы, для которых Су = 0,
неустойчивы. Ниже, при определении отображения Тг, мы не будем их
рассматривать.
Сепаратрисы, выходящие из особых точек (р0, ос, е) ЕЕ Wa" лежат на
инвариантном (в силу условия С) многообразии q$ = еба. Система (4.5) на
этом многообразии после замены времени dx/dt = Q ]> 0 переходит в
линейную систему
X = е Sa-X + е.Г, (4.7)
где векторы X, Y имеют координаты X = (eQ, рг), Y = (Яа,
В силу условия 5, каждая траектория системы (4.7), начинающаяся на
плоскости Q = 0 при Ь?рг + № 0 (сепаратриса, выходя-
щая из особых точек W\), снова пересекает эту плоскость (при Ь?рг + № <[
0). Обозначим определенную таким образом функцию последования Та.
Таким образом, на множествах особых точек W\ определено отображение Тъ
переводящее начальную особую точку в конечную точку выходящей из нее
сепаратрисы. Отображение Тг имеет вид
(р, ОС, 8) ЕЕ Wa• Ti (р, ОС, 8) = (Та (/?), ОС, 8) S Va,
(v а г)е= г-• Т (V а - I ^ У ^ +1) S (4>8)
{р, а, е) е V*. Тг (р, а, е) - j ^ ? ^ _1} ^ ^
В последнем случае отображение Тг двузначно.
Траектория системы (4.5), начавшаяся в достаточно малой окрестности
особых множеств Va, Wa, будет сколь угодно долго двигаться вдоль
некоторой последовательности сепаратрис в диа-
312
Динамика возмущений цепочки тода/
[ГЛ. VIII
грамме
(4.9)
• • •
(стрелка означает сепаратрису, идущую между особыми множествами), т. е.
колебательный режим в системе (4.2)-(4.5) допускает сепаратрисную
аппроксимацию. Ниже мы укажем класс систем
(4.2)-(4.5), у которых пространство Qa, р1 разбито на инвариантные
области, в каждой из которых все переходы в диаграмме (4.9) однозначны.
В исходных координатах Qa, р1 колебательный режим имеет следующую
динамику. Траектория, начавшаяся при достаточно малых значениях координат
Qa, периодически оказывается в окрестности точек плоскости Р (Q1 = . . .
= Qm = 0), получающихся одна из другой последовательным действием
отображения Т (двузначного), определенного следующим образом. Плоскость Р
разбита на подмножества Ра: на Ра имеем у (р) = а (см. (4.3)). На каждом
Ра отображение Т = Та (см. (4.8)), т. е. Т (р) = Г^р), е = ±1. При
переходе траектории между двумя последовательными точками плоскости Р
сильно изменяется координата причем sign @v(p) = s, а для остальных
координат | Q& |
<< I @v(p)|. Стохастические свойства колебательного режима определяются
свойствами отображения Т.
Отображение Т (и сепаратрисная диаграмма (4.9)) сводится к однозначным
отображениям в важном частном случае систем
(4.2), когда коэффициенты
В этом случае все плоскости 0х = 0 являются инвариантными мно^
гообразиями системы и, следовательно, каждая из 2(tm) областей <*t в которой
sign Qa = еа, также инвариантна. Если траектория в области а движется
вдоль некоторой сепаратрисы (4.6), то необходимо sign С* = ev (см.
(4.6)), поэтому все переходы в диаграмме (4.9) для траекторий, лежащих в
области а, однозначны. Соответствующее отображение Т = TG на множестве Ра
имеет вид Т0 = Т^а и также однозначно. Все отображения TG и
соответствующие им колебательные режимы, вообще говоря, различны.
Если система вида (4.2) при выполнении условия (4.10) рассматривается
только в некоторой одной области a (sign Qa = 8а), то достаточные условия
существования колебательного режима можно ослабить: вместо условия В
достаточно потребовать, чтобы Re > 0, где - собственные числа матриц ва-
*5а.
а%у = 0 при р, у Ф а.
(4.10)
§ 4] ДИНАМИКА СИСТЕМ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТИПА 313
Примерами систем, удовлетворяющих условиям предложения 1, являются
гамильтоновы системы (1.2) и (1.4). Системы (1.2) после отображения Qk =
exp (afc, q} принимают вид (4.2) и удовлетворяют условиям А, В, С (4.10)
(в силу условий А ж В, % 1). Колебательный режим, указанный выше, для
этих систем переходит в колебательный режим, найденный в § 2.
Гамильтонова система (1.4) после отображения Qt = exp qt принимает вид
(4.2) и удовлетворяет условию А в особых точках Н - 0, Qt = 0 и условиям
5, С, (4.10). Колебательный режим в этом случае изоморфен колебательному
режиму БЛХ (см. § 6 главы II).
Системы гидродинамического типа (4.1), допускающие представление (4.2) (с
Ха = Яр = 0) и имеющие интеграл энергии Е вида Е = (и1)2 + • • • + (ип)2>
автоматически удовлетворяют условиям А (в силу сохранения объема, div йг
= 0) и В (в силу существования интеграла энергии Е). Выполнения условия
С, вообще говоря, нужно требовать дополнительно.
Простейшим примером с.г.т. являются уравнения Эйлера движения твердого
тела, или триплет [189]:
Vi = I (vl - Уз), v2 = - lvxv2, v3 = lvxv3,
очевидно, удовлетворяющий условиям А, В, С (4.10). Здесь координатами рг
является неустойчивая мода у1? а координатами Q*1 - v2 и Va - линейные
