Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Богоявленский О.И. -> "Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике" -> 114

Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.

Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике — М.: Наука, 1980. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikachestvennoyteoriidinamicheskihsistem1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 108 109 110 111 112 113 < 114 > 115 116 117 118 119 120 .. 121 >> Следующая

кроме
подмногообразий меньшей размерности, являются невырожденными и
неустойчивыми (особая точка называется невырожденной, если число ее
нулевых собственных чисел равно размерности множества Мк).
На каждом множестве Мк выделим два подмножества Vk и Wк:
на Vk (ak, s)<0,
на Wk (ак, s) = max (ah s) ^> 0.
i
Сепаратрисы, выходящие (при Ti^-oo) из точки {s°, /}, принадлежащей
множеству У/, имеют вид
Гт (Тх) = Ст exp ((am, *°) rx) (S С? ехр (2 (аь "о) Тх))-*/*, 2 g
w = 0, Si = st, Ст >0.
Здесь т, I пробегают числа г, для кеторых %t 0 (см. (2.1)); если же %i <
0, то ri = 0. Пусть (aft, 5°) = max (оь*, 5°). Очевидно, все
сепаратрисы (2.2), для которых Ск^> 0, при хг~++оо идут в особую точку
{s°, к} на множестве Wk.
Из особой точки {s°, к}, принадлежащей множеству Wk, согласно (2.4),
выходит единственная сепаратриса 26 , лежащая на инвариантном
многообразии rt = 8ik. Для интегрирования этой сепаратрисы удобно
обратиться к системе (2.3), поскольку все траектории системы (2.2) (на
многообразии s\ + • • . + Sn = 1) получаются из траекторий системы (2.3)
при отображении
= Pi/P. (2.6)
Траектории системы (2.3) на многообразии rt = 6ik после замены времени
dx/dt = P2w легко интегрируются:
Pi-si fbkkdki, w(x) - X | 0___________хъ a s° - xb aT
\s -xokkaK,s xokk ak}
(при этом, вместо интегрирования уравнения (2.3) для w, удобно
воспользоваться интегралом Н (1.2)).
Траектория (2.7) при т = т* = 2 (a*, s°)/bkk (ак, ак) (т* > 0 согласно
определению 5° и условию 5, § 1) входит в точку
304 ДИНАМИКА ВОЗМУЩЕНИЙ ЦЕПОЧКИ ТОД^ [ГЛ. VIII
/
Очевидно, что отображение т* является отражением в плоскости,
ортогональной (по метрике atj) к вектору а^, и (р1, а*;) = = -(5°, ак) С
0. Сепаратриса 95, получающаяся из траектории (2.7) при отображении
(2.6), при % = %г входит в особую точку, принадлежащую множеству
(поскольку (р\ а*) < 0).
Проведенное интегрирование сепаратрис (2.5), (2.7) показывает, что
сепаратрисы, выходящие из множеств особых точек Wu снова входят в такие
же множества. Поэтому существуют бесконечные последовательности,
образованные сепаратрисами, идущими между этими особыми множествами:
...^Vj^Wk^Vk\wi Д... (2.9)
Траектория системы (2.2), начавшаяся в достаточно малой окрестности
одного из особых множеств Vjy Wk, будет сколь угодно долго двигаться
вдоль последовательности сепаратрис (2.9). Соответствующая траектория в
исходных координатах qt движется следующим образом: при переходе I (2.5)
происходит движение с приблизительно постоянным направлением импульса р*,
это движение заканчивается, когда некоторое Qk Qi для всех Z; затем при
переходе II (2.7) происходит эффективное "отражение" импульса,
описываемое отображением (2.8); затем снова движение с постоянным
направлением импульса и т. д.
Этот колебательный режим в случае положительно определенной метрики а,ц
реализуется (асимптотически точно) при Н^> 1. Действительно, из условия А
(§ 1) следует, что по крайней мере одно Qi *> 1, поэтому
G2 . 1
^ - р2 ^ JD2 •
Далее, интеграл энергии Н в координатах (2.1) имеет вид
п п+1
H = -~P*{\^aijSisj + wl V Ък1ГкгЛ . (2.10)
' i,i М '
Поскольку при сепаратрисных переходах I w 1, то при положительно
определенной метрике atj (без потери общности ее можно считать
евклидовой) получаем Н^> 1. Отметим, что при этом из (2.10) следует
также, что при переходах I не только направление, но и модуль импульса р*
по порядку величины не меняется. В случае индефинитной метрики atj, как
показывает пример (1.4), колебательный режим реализуется и при Н = 0.
Согласно (2.8), приближенно постоянные векторы направлений импульса sn
при последовательных переходах вдоль сепаратрис I (2.5) получаются один
из другого действием отображения Т:
%".Г(ЕЛ,)= , ЛЫ' . (2.11)
(sjv)> (siv)}
§ 31 ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ Й ПРОСТЫЕ АЛГЕЁРЫ ЛЙ
305
\
где номер к on условием
(аь%)==тах(а/,%),
(2.12)
а отображение т&, являющееся отражением в плоскости, ортогональной к
вектору ось определено (2.8).
Отображение Т для цепочки Тода (1.1) является периодическим - здесь
векторы а* являются корнями простой алгебры Ли типа Ап (SL (п + 1)). Для
гамильтоновой системы (1.2) отображение Т будет периодическим, если
группа Кокстера G, порожденная отражениями (2.8), конечна (если d -
порядок группы б, то Tdx-Td = Td, но отображение Т может быть
необратимым). Все конечные группы Кокстера G известны [91] и, кроме трех
исключительных случаев, являются группами Вейля простых алгебр Ли (при
условии, что G не разлагается в произведение двух других групп).
Исключениями являются две группы Кокстера в трехмерном и четырехмерном
пространствах и бесконечная серия диэдральных групп (групп симметрий
правильных многоугольников) в двумерном пространстве.
Свойство периодичности отображения Г, отражающее глубокую алгебраическую
симметрию гамильтониана (1.1), выделяет периодическую цепочку Тода среди
ее общих возмущений (1.2). В общем случае (1.2) группа Кокстера G
бесконечна и ее замыкание (при положительно определенной метрике atj)
Предыдущая << 1 .. 108 109 110 111 112 113 < 114 > 115 116 117 118 119 120 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed