Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
+ exp (- qt - q^ + exp (g7 + q9), VFt = exp (q i - g2) + exp (ga - g3) +
exp (q3) +
+ exp (4 (- qi - qi - q3 + g*)) + exp (-91- q4),
Vg, = exp (qt - q3) + exp (-2дг + qz + q9) +
+ exp (ft + ft - 2q3).
Используя стандартные линейные представления простых алгебр Ли, можно
показать, что гамильтоновы системы с гамильтонианами (3.9) имеют ровно т
интегралов; в некоторых случаях удается доказать их инволютивность х).
Для алгебры Ли типа Ап (SL (п + 1)) гамильтониан (3.9) определяет
периодическую цепочку Тода, для остальных типов получаем новые цепочки
частиц, имеющие большое число интегралов движения (отметим, однако, что
система (3.9) для типа Сп
г) В недавних работах [185, 186] доказано, что гамильтоновы системы (3.9)
для всех простых алгебр Ли являются вполне интегрируемыми системами. При
этом в работе [185] в явном виде проинтегрированы системы (3.9), у
которых в потенциале (3.10) отброшен максимальный корень и поэтому
происходит разлет частиц на бесконечность. В самое последнее время в
работе [187] изучалась связь интегрируемости гамильтоновых систем (3.9) с
теорией представлений полупростых алгебр Ли.
ДИНАМИКА СИСТЕМ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТИПА
309
вкладывается в цейочку Тода из 2п частиц). Во всех этих системах
стохастизация невозможна.
Для системы двух частиц из (3.10) получаем, кроме цепочки Тода, еще две
интегрируемые гамильтоновы системы с потенциалами
Vb, = exp (gx - q2) + exp (q2) + exp (-- q2),
VGi= exp (<h) + exp(/3 q2) + exp(---1-qt - .
Отметим, что обе эти системы отличаются от рассмотренной в [179] системы
с потенциалом
Ft = exp {ql - q2) + exp (q2) + exp (-qj,
описывающим цепочку Тода с одной фиксированной частицей.
Основываясь на теореме 1, можно указать много других примеров
гамильтоновых систем, допускающих представление в виде L -¦ Л-пары -
например, такие системы получаются из (3.9) отбрасыванием нескольких
слагаемых в потенциале V
§ 4. Нелинейные колебательные режимы
в системах гидродинамического типа
Понятие системы гидродинамического типа (с.г.т.) было введено в работе
[188]. Такие системы возникают при конечномерной аппроксимации уравнений
гидродинамики по методу Галеркина и имеют вид
й1 = Tftuiu* (4.1)
при постоянных I". Согласно определению работы [188], система
гидродинамического типа обладает квадратичным по иг интегралом энергии Е
и поток, определенный системой (4.1), сохраняет фазовый объем (div йг =
0). Гамильтоновы системы (1.2) цри ах + . . . + о"1+1= О ПРИ отображении
@&=ехр ({а*, <7}) переходят в с.г.т.
Выделим общий класс динамических систем, включающий в себя системы (1.2),
(1.4), и некоторые системы гидродинамического типа (4.1), для которого
докажем наличие сложных нелинейных колебательных режимов, допускающих
сепаратрисную аппроксимацию, подобную описанной в § 2.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений следующего вида (переменные
разбиты на две группы: Q* ЕЕ i?w, рг ЕЕ Rn):
Qa = 4WF + 0я Ш + ^), р = сУрф + 4<?у + 4<?р
(всюду по индексам, повторяющимся в одной части уравнений, производится
суммирование).
310 ДИНАМИКА ВОЗМУЩЕНИЙ ЦЕПОЧКИ ТОДа/ [ГЛ. VIII
Предложение 1. Следующие условия А, В, С являются достаточными для
существования в системе (4.2) нелинейного колебательного режима,
допускающего сепаратрисную аппроксимацию:
А Для почти всех р1 ЕЕ Rn
max (ibip% + Xa) = bjp1 + № > 0, у = у (p). (4.3)
оь
Для каждого a вектор (bf) Ф 0.
В. Для каждого а матрицы порядка (га + 1) X (п + 1)
имеют диагональную жорданову нормальную форму и все их собственные числа
имеют Re Xt = 0.
С. Для всех р Ф а = 0.
Для изучения колебательного режима перейдем к координатам
= Q*/а, а = ((С1)2 + . . . + (<?w)2)1/2. (4.4)
Система (4.2) в координатах ga, р\ ?1 имеет вид
= a&etyG + 9a + ^a) -
- 3" (agrfWQ + (дв)" (fetV + Ь6)), '
Q = Q (e^gPgfvQ + (g6)2 (6?p* + V>)),
pl = Q (cpvgPgvQ -f 4,-gfy + ЦдР).
Система (4.5) рассматривается, в силу замены (4.4), на инвариантном
многообразии (q1)2 + . . . + (qm)2 = 1, Q ]> 0 и непрерывно
продолжается на границу Q = 0, также являющуюся инвариант-
ным многообразием. Эта система имеет 2т множеств особых точек М% = Rn (а
= 1, . . ., т; е = ±1) с координатами
д" = еб?, Q = 0, /еД*.
Точки, принадлежащие множествам Л/", обозначаем тройками (р. в).
Собственные числа системы (4.5) в особых точках (р, а, е) следующие (в
скобках указаны соответствующие собственные направления):
до = (bfp1 + ДО) - (bfp1 + Ха) (переменные q&; (J = 1, ..т,
Р Ф1
[Am = bfp1 + Ха (переменная ?2),
\im+1 = . . . = jxm+n = 0 (переменные рг).
§4) ДЙНШИКА СИСТЕМ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ТИПА 3li
Из условия А следует, что почти все особые точки Мга невырожденные (т. е.
число нулевых собственных чисел равно размерности Ма) и неустойчивые.
Выделим два подмножества Va и W& на каждом М%- на V% (btp1 №) <^ 0; на
Wa а = у (р) (см. (4.3)). Сепаратрисы, выхо-
дящие (при -оо) из точки (р0, ос, е) ЕЕ Va, имеют вид
= С" exp ((bfpl + ХР) t) (S (С8)2 ехр (2t(b\p\ + ^)))-1/2, (4.6)
б
Q (t) = 0, рг (t) = pi, Са = 8, -оо < t < +оо
