Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.
Скачать (прямая ссылка):
энергией Е 0 и у 1, где
Е = Т + aFi-v (F) - -GMU (F),
т=-т ЁМ*
i, fr
(9.3)
Здесь Г - кинетическая энергия газа. Пусть
GM ^ a ji/3(Y-D
71
(9.4)
при движении на отрезке траектории длины ~d допускает, после подстановки
(9.4) в (9.2) и
(9.1), следующую оценку:
di, d$ - d Тогда изменение скорости Д
dt
<*4 d*rk
dt dt2
У т
<Ут
dfl
dt
Поэтому при условиях (9.4) коэффициенты F\ (t) в первом приближении
изменяются по прямым:
F\ (t) = Alt + В\. (9.5)
При подходящем выборе констант В\ прямая (9.5) при некотором t = t0
пересекает поверхность L: V (F) = 0, т. е. эллип-
29В ДИНАМИКА ГАЗОВОГО ЭЛЛИПСОИДА [гЛ. Vlt
соид при t -> t0 сжимается в диск вдоль некоторого направления. Однако
при этом давление, препятствующее сжатию, растет неограниченно, а
скорости газа и гравитационные силы остаются конечными; поэтому сжатие
сменяется расширением. Такая смена происходит как упругое отражение
прямой (9.5) от поверхности L в точке пересечения при t - t0. Затем
коэффициенты Fi (t) снова изменяются по прямой вида (9.5) с новыми
константами (-4J)1, (Sj)1. Эта прямая снова может пересекаться с
поверхностью L, что означает новое сжатие эллипсоида, и т. д. Таким
образом, изменение коэффициентов F\ (t) на всей оси времени t в первом
приближении происходит по ломаным линиям, которые упруго отражаются от
поверхности L в точках пересечения.
Используя тот факт, что L - сильно изогнутая поверхность, можно направить
первоначальную прямую (9.5) так, чтобы построенная по ней ломаная имела
сколь угодно большое (но конечное) число пересечений с этой поверхностью.
При изменении F\ (t) вдоль любого отрезка ломаной объем эллипсоида (V
(F)) достигает максимума, а затем убывает, т. е. газ находится в
колебательном режиме. При этом амплитуда колебаний объема эллипсоида и
плотности газа р (t) =-----------
4л det (F\)
может быть сколь угодно большой. Очевидно, проведенные рассуждения
справедливы и при G = О, поэтому колебательный режим реализуется и при
отсутствии гравитационного взаимодействия между частицами газа.
Колебательный режим обрывается, когда очередной отрезок ломаной при
неограниченном продолжении не пересекается с поверхностью L; в этом
случае происходит бесконечное свободное расширение газа.
Для реализации колебательного режима необходимо наличие вращения газа,
так как при отсутствии вращения (матрица || Fi1t (t) || диагональна)
поверхность L вырождается в три координатные плоскости и ломаная имеет
только три отражения, которым соответствуют три последовательных сжатия и
расширения эллипсоида по ортогональным осям/
II. Колебательный режим движения с отрицательной энергией. Рассмотрим
движение гравитирующего газового эллипсоида при F < 0, у < 4/3 в
состоянии сильного сжатия. Пусть полуоси di ~ d<^ (GMfа)1^4-3?). Тогда
при у < 4/3 в силу (9.2) получаем (r) .
2 dF\ dt\
Поэтому движение эллипсоида определяется гравитационными силами и,
следовательно, аппроксимируется движением гравити-
§9]
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
299
рующего пылевого эллипсоида. Согласно [164], под действием гравитационных
сил пылевой эллипсоид в общем случае сжимается в диск (т. е. dx -> 0, d2
-> С2 ]> 0, d3 -> С3 0 и V (F) = d^dg-^Q). Однако при наличии давления
неограниченное сжатие эллипсоида в диск невозможно, так как скорости газа
и гравитационные силы при таком сжатии остаются конечными, а давление,
препятствующее сжатию, растет неограниченно. Поэтому сжатие в диск
сменится расширением (такая смена происходит как упругое отражение
вектора скорости dFu/dt от поверхности L), в результате которого полуоси
d1? d2, d3 вновь станут сравнимы одна с другой, движение вновь будет
определяться гравитационными силами и будет аппроксимироваться движением
пылевого эллипсоида. Это приведет к новому сжатию эллипсоида в диск
(возможно, вдоль другого направления), которое после упругого отражения
вектора скорости от поверхности L снова сменится расширением, и так
далее, до бесконечности.
Для справедливости описанной аппроксимации колебательного режима не
обязательно сильное сжатие эллипсоида; достаточно, чтобы р = 8a/(3GM)<^ 1
(это неравенство выполнено при низкой начальной температуре газа).
Приведенная аппроксимация колебательного режима является точной при
сильном сжатии эллипсоида (Е ->- - оо) или при
р-о.
При этих значениях параметров единственными решениями системы (9.1), не
обнаруживающими колебаний, являются решения со сферически-симметричным
режимом сжатия [156]. Однако такой режим сжатия неустойчив. Поэтому, если
на некотором отрезке времени движение эллипсоида близко к сферически-сим-
метричному, то при дальнейшем движении эллипсоид уходит от этого режима и
вновь начинаются колебания. Колебания объема эллипсоида сопровождаются
колебаниями температуры и других физических параметров газа.
ГЛАВА VIII
ДИНАМИКА ВОЗМУЩЕНИЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЦЕПОЧКИ ТОДА
§ 1. Гамильтоновы возмущения цепочки Тода
В 1970 г. японский физик М. Тода при численном исследовании различных
