Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Богоявленский О.И. -> "Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике" -> 108

Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.

Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике — М.: Наука, 1980. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikachestvennoyteoriidinamicheskihsistem1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 102 103 104 105 106 107 < 108 > 109 110 111 112 113 114 .. 121 >> Следующая

(у) = 0), где Н ->¦ -оо. Поэтому траектории системы (5.6) с большой
отрицательной энергией И все время остаются в малой окрестности
многообразий 1\ и Г2 (это же верно и при любых Н < 0, но р ->¦ 0; см.
(5.3), определение координа ты и). Следовательно, эти траектории движутся
вдоль траекторий системы (5.6) на многообразиях 1\ и Г2, т. е. общая
траектория системы (5.6) движется вдоль последовательности сепаратрис
особых точек К+, К_.
Полученная аппроксимация траекторий системы (5.6) последовательностью
сепаратрис (6.4) доказывает, что общее движение гравитирующего газового
эллипсоида с болыной^отрицательной энергией Н или с малым параметром р
имеет пульсирующий, колебательный характер. Действительно, согласно
аппроксимации (6.4), траектория периодически оказывается в окрестности
особых точек К+1 К_, где det Yjk = V (yt) = 0, т. е. эллипсоид
периодически оказывается сжатым в диск. Кроме того, из уравнения
следует, что объем эллипсоида det || Fд || - V (qt) при движении
траектории системы (5.6) вдоль сепаратрисного перехода I достигает
максимума, а при движении траектории вдоль сепаратрисного перехода II
(см. (6.4)) det || Fjk || достигает минимума. Следовательно, изменение
плотности р газа, заполняющего эллипсоид,
р= --тттгт-гг также имеет колебательный характер. Период det (I г ^ ||
каждой пульсации эллипсоида в силу соотношения (см. (5.5))
Я+, К..
(6.5)
П
х|4-?^+1-2мГ (6-6)
при Н --оо становится сколь угодно малым.
286
ДИНАМИКА ГАЗОВОГО ЭЛЛИПСОИДА
[ГЛ. VII
Из уравнения состояния идеального газа
р *= рRT
и (4.3) получаем выражение для температуры:
Т - а (у - 1) Л"1 (1 - a2)V^y (F), (6.7)
где R - газовая постоянная. Очевидно, пульсации объема газа
сопровождаются колебаниями его температуры, а также и других физических
параметров газа. Константа а определяется начальной температурой в центре
эллипсоида.
Описанное пульсирующее движение эллипсоида при Н -> -оо происходит в
состоянии сильного сжатия, поскольку величина
п
<% + <% +<11 = ^1 =
= (t)2/(4'3V) (D № -^-)2/(4_3V) (F (j,))*<v-"/"r*v> (6.8)
стремится к нулю при Н - оо (т. е. или V (у)-*- 0, или и -> 1).
Сепаратрисная аппроксимация (6.4) означает, что асимптотическое движение
траекторий системы (5.6) в координатах уь при Н -+¦ -оо или р ->¦ 0
происходит следующим образом:
1) В области V (yt) У 0 движение происходит по траекториям,
соответствующим пылевому гравитирующему эллипсоиду. Такая траектория в
общем случае пересекается с поверхностью
V (г/г) - 0 в некоторой точке у\ (переход I).
2) В точке пересечения траектория упруго отражается от поверхности V
(yi) = 0 (переход И; см. (6.3)).
3) Затем движение снова происходит по траектории, соответствующей
пылевому гравитирующему эллипсоиду, до следующего пересечения с
поверхностью V (yt) = 0 и т. д.
Таким образом, можно сказать, что моделью колебательного режима движения
гравитирующего газового эллипсоида является
многомерный биллиард в области det || Уд || = V (уг) > 0 на
з
восьмимерной сфере S8 ( 2 Y%=1) с упруго отражающей гра-
*=i
ницей det || Уд || - 0. Причем между соударениями с границей точка
движется по траекториям, описывающим движение пылевого гравитирующего
эллипсоида. Наличие газодинамического давления проявляется в свойстве
упругого отражения траектории от границы det || Уд || = 0.
§ 7] О НЕВОЗМОЖНОСТИ КОЛЛАПСА ПРИ НАЛИЧИИ ВРАЩЕНИЯ 287
§ 7. О невозможности коллапса гравитирующего газового эллипсоида при
наличии вращения газа
В данном параграфе мы получим (при 7 < 4/3) оценки сверху и снизу для
полуосей эллипсоида d{ для движения с отрицательной энергией
я=4-тда'+ -^-гг-г -
2 (det / )v_1
- 4 GM J ((dI + *) (dt + *) (dl + *))-!/* ds (7.1)
0
и ненулевыми интегралами J и К (1.12). Оценим сначала интеграл энергии Н
(7.1). Матрицу F представим в виде (4.4): F - QXDQ2. Тогда F1 = QlDQ{.
Введем кососимметричные матрицы А и В:
Qi~ - QiA, <5г - BQi,
/ О а3 - аЛ /О р3 - р2\
Л = 1-а3 0 ах], #=1-'Р3 0 р, I . (7.2)
' а2 - cii (К Р2 - Pi 0'
В этих обозначениях получаем F - Qi (-AD + D + DB)Q2, Fl = Qi (-BD
+ D + DA)Q[.
Первые интегралы J и К имеют вид
J - FFl - FF' = QjQl К = F'F - F*F = Q'jeQ*
где
j = -2DBD + D*A + AD2, к = -2DAD + D*B + BD2. (7.3)
Трехмерные векторы (или кососимметричные матрицы) j и к получаются из
постоянных векторов / и К с помощью ортогонального поворота (на Q[ и Q2
соответственно), и поэтому |/| - |/|, |fc| = \ К\.
Равенства (7.3) в координатной записи принимают вид
71 - ai (^т + <%) - 2dmdnft jr,
ki - Рг (<^m + ^n) - 2dmdnau (m, n, Z) - (1,2, 3).
Отсюда получаем
f, " + <?)+2* ДА
288 ДИНАМИКА ГАЗОВОГО ЭЛЛИПСОИДА [ГЛ. VII
Кинетическая энергия газа Т имеет вид Т '= Тг (F F1) = Тг - А%п* - В% D2
+ 2ADBD). Используя формулы (7.2) и (7.4) получаем
= ^ (/*+ ***+ + Ailkidmdn (7.5)
{=1 1фтфп
Кинетическую энергию Г, очевидно, можно представить в виде
<dm- dn)2 (it + *?) + ЧЛ (,• + *г)2 ,п
2_J t + 2_j (rf - d )2(d + d )2 • V-b)
* m n' * m n'
Пусть dt < da < d3; тогда из (7.6) следует
Предыдущая << 1 .. 102 103 104 105 106 107 < 108 > 109 110 111 112 113 114 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed