Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Богоявленский О.И. -> "Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике" -> 105

Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике - Богоявленский О.И.

Богоявленский О.И. Методы качественной теории динамических систем в астрофизике и газовой динамике — М.: Наука, 1980. — 320 c.
Скачать (прямая ссылка): metodikachestvennoyteoriidinamicheskihsistem1980.djvu
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 121 >> Следующая

[ГЛ. VIT
ния сменяется расширением. Аналогичных решении трехмерной задачи, по-
видимому, не существует. ^г;* "
Отметим, что бесконечно высокий барьер потенциала U (ф) при^ф =
я/4т(являющийся одной из причин возникновения колебаний, другой причиной
является барьер npii ф = 0, созданный давлением) имеет следующее чисто
геометрическое происхождение. В четырехмерном пространстве матриц Fц
множество матриц с dx = d2 (см. (3.1)) имеет размерность 2. Поэтому для
почти всех траекторий лагранжевой системы (3.2) во все моменты времени di
?= d2, следовательно, почти все траектории гамильтоновой системы (3.4) не
пересекают поверхность ф = тс/4, а это возможно лишь при наличии
бесконечного потенциального барьера. По тем же причинам в трехмерной
задаче отношение порядка между полуосями эллипсоида постоянной плотности:
dx < d2 < d3 сохраняется для почти всех движений газа во все моменты
времени.
§ 4. Уравнения движения гравитирующего
газового эллипсоида
Адиабатическое движение гравитирующего идеального газа определяется
уравнениями
du др дФ do ,. d / р \ л
РТГ = -957- Р-^-' ~ЧГ ~ Р v ' -1г(тг) = °.
(4.1)
где все обозначения те же, что и в § 1, а Ф (х) - ньютоновский
гравитационный потенциал w
созданный в данной точке х всей массой газа, G - гравитационная
постоянная. Уравнения (4.1), так же как и уравнения (1.1) при отсутствии
гравитационного^взаимодействия, имеют решения с однородной деформацией, в
которых эйлеровы координаты частиц газа х% являются линейными функциями
лагранжевых координат ак:
х{ = F\ {t)a4, i, к = 1, 2, 3. (4.2)
Для существования таких решений необходимо, чтобы гравитационный
потенциал Ф (хг, х2, х3) был квадратичной функцией координат xh а это
свойство выполнено только для гравитационного поля внутри эллипсоида,
заполненного газом с постоянной плотностью (см. [172, 173]). Поэтому для
решений вида (4.2) плотность газа р и давление р определяются формулами
(при
§ 4] \ ГРАВИТИРУЮЩИЙ ГАЗОВЫЙ эллипсоид 277
\
а2 = а\ + а! V С% < 1)
р = 4^л| det (Fl) I-1, j? = a-^(T~1) (1пя*> (4.3)
у 4л Ч. V К, I у 8л (det . V, ,
Здесь a, М - константы, М - полная масса газа. При a2 > 1
полагаем р = 0, р = 0.
Оператор F\ можно представить в виде
F = (4.4)
где Q±, Q2 - ортогональные матрицы, а матрица D диагональна: D) - dj8).
Единичная сфера в лагранжевых координатах ак при отображении (4.2)
переходит в эллипсоид с полуосями d±, d2, d3 и главными направлениями et
= Qtfi. В силу условий (4.3), газ с постоянной плотностью заполняет этот
эллипсоид; давление р максимально в центре эллипсоида и равно нулю на его
поверхности.
Ньютоновский потенциал Ф в точке (хг, х2, х3) внутри эллипсоида (в
координатах, связанных с главными осями) имеет вид (с точностью до
константы)
X2 X2
Х2 , Х3
"*5 + " <? + " /
х ((dl + s) (dl + s) (d* + "))-!/* ds. (4.5)
Для вывода уравнений движения гравитирующего газового эллипсоида введем
матрицу <plJ = FlaF3a (ср = F о F1). Очевидно, что собственные числа
матрицы <рг/ есть <2?, dl. Если матрица F\ диагональна: F% - D\, то
ньютоновский потенциал (4.5) можно представить в виде
Ф =------%-хУ, (4.6)
где
оо
U = -|-GM J ((dt + s) (dt + s) (dt + s))-^ds. (4.7)
0
Поскольку потенциал Ф является скаляром, то выражение (4.6) справедливо в
любом базисе. Отметим, что подынтегральную функцию в (4.7) можно выразить
непосредственно через компоненты матрицы F\:
(d\ + s)(dt + s)(dl + s) =
= det (FFl) + -~-s [(Tr (FF')f - Tr (FF'FF*)} + s2 Tr FF* + s3.
278 ДИНАМИКА ГАЗОВОГО ЭЛЛИПСОИДА [ГЛ. VII
Основные уравнения динамики (4.1) с учето^/ (4.3) и (4.6) переходят в
систему уравнений j
'fi=-aikmr^+{w+-]fr)rl (4-8)
Согласно определению <рг1 = FlaFla имеем
т?1 d<tli
г & ------
Поэтому система уравнений (4.8) является лагранжевой системой
d dL_dL 4
dt ei\ w"
с лагранжианом
3
ь=4- Yi {р'к)г ~а (det F)1_T+ i,k
оо
+ GM J ((dl + s) (d\ + s) (d2s + s))~I/* ds. (4.10)
0
Таким образом, изучение динамики гравитирующего газового эллипсоида
эквивалентно изучению динамики материальной точки в девятимерном
пространстве матриц F\ в поле с потенциалом, определенным (4.10).
Отметим, что лагранжиан (4.10) зависит от одного характерного, не
устранимого заменой времени, параметра Р = ос/3GM. Лагранжева система
(4.9)-(4.10), так же как и система (1.10), инвариантна относительно
преобразований F->QiFQ%, где Qx, Q% - ортогональные матрицы, и имеет
первые интегралы J и К (1.12).
Полная энергия газа, заполняющего эллипсоид v, имеет вид
Е ^ \ l^ir' + ~ рф (*)]dx=
v
3
=¦х [4- Ц, ^+а (det F)l_T -
г, к
оо
----3TGM^ ((dt + s) (dl + s) (dl + *))-!/* ds] .
0
В важном частном случае сферически-симметричных движений F\ = Fb\
лагранжиан (4.10) переходит в
Ь\-~Рг -F* (i-v) + GMF~K
§ 51 ^ ч ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГАМИЛЬТОНОВОЙ СИСТЕМЫ
279
При у 4/3 'к отрицательной энергии
Ег = -L F2 + -j- ^3(i-v) _ GMF-1
газовый шар пульсирует в окрестности положения равновесия
FT* = 3 (v - 1)Р.
Эти колебания газового шара изучались в книге [132] в качестве модели
Предыдущая << 1 .. 99 100 101 102 103 104 < 105 > 106 107 108 109 110 111 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed