Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
'-'-L2 л . ¦ ^4'10*
R1 у +
где моменты t, Z1 соответствуют радиусам /?, Ri. Если положить /?о» то интеграл (V, 4,10) даст t— Z1 оо, показывая, что равновесное состояние модели Леметра имело место в бесконечно далеком прошлом.
Рассмотрим эффект Допплера в модели Леметра. Пусть источник излучения имеет постоянные пространственные координаты г|?, 0, ф, а наблюдатель покоится в начале координат. Принцип Допплера выражается в этом случае формулой
к+ 61 _ M3 к — dh >
где Z1, t2 — моменты излучения и наблюдения. Распространение света от источника к наблюдателю происходит в радиальном направлении. Поэтому, положив в линейном элементе (Vt 4,1) d© =
= d<p = 0, ds =0, имеем = — R~l, откуда получаем уравнение
•8
^ = Jtf-Irfft (V, 4,11)
связывающее постоянную координату источника с моментом излучения и наблюдений. Считая /2 функцией Z1 и выполняя дифференцирование, находим
dtz __ R3 dt, - R1 •
где /?2 — соответствующие значения радиуса. Следовательно,
= (V, 4,12)
В модели Леметра должно иметь место «красное смещение» в спектре источника с постоянными пространственными координатами. Величина этого смещения определяется отношением радиусов в моменты излучения и наблюдения. Естественно ожидать, что
172 отношение R2 : R\ может заметно отличаться от единицы только в том случае, если промежуток времени между излучением и наблюдением будет достаточно велик. Иными словами, «красное смещение» должно обнаруживаться лишь в спектрах весьма удаленных объектов.
Представим (V, 4,12) в приближенной форме. Обозначая современную величину радиуса кривизны через R1 можно написать
R1^Ri R2^ R + /?(/.,-Z1).
С другой стороны, из (V, 4,11) имеем t2 — Z1 ^ Rx|), т. е. линейное расстояние / источника от начала координат. Следовательно, вместо (V, 4,12) приближенно можно написать
? = (V, 4,13)
В модели Леметра удаленные объекты должны обнаруживать «красное смещение», удовлетворяющее линейному закону Хаббла.
Принимая для средней плотности и отношения R : R значения, определяемые из наблюдений, и пользуясь формулами (V, 4,5), (V, 4,9) и соотношением R^2 =Л, можно получить количественную оценку космологической постоянной, а также начального и современного радиусов кривизны.
Дифференцируя (V, 4,9), имеем
R = RoR-2+Y Ro2R-Поэтому последнее из равенства (V, 4,5) дает
*-( ^f- (V-4-14)
Уравнение (V, 4,9) можно переписать теперь в виде
2_
RZR-2 = ** Q + I _ (4лQ#->)3
или
1 2_
Л = ЗЛГ(4яд)3 - 8JtQ + SR2R-2. (V, 4,15)
По этой формуле находится значение космологической постоянной, а следовательно и начальный радиус R0. По (V, 4,14) определяется затем современное значение радиуса. Масса находится по очевидной формуле M = ~ kR0.
Заметим, что указанные оценки являются неточными и соответствуют приближению формулы (V, 4,13), в которой пренебрегается изменением отношения R: R в течение промежутков времени,
173 требующихся для распространения света от удаленных внегалактических туманностей до наблюдателя. Для более точных оценок необходимо пользоваться общим выражением принципа Допплера (V, 4,12).
В первой работе Леметр вывел для начального радиуса кривизны величину 8,5 • IO26 см, т. е. в 40 раз меньше радиуса статической модели Эйнштейна. Эддингтон оценивал современный радиус модели Леметра величиной 11 • IO26 см, а полную массу ее — 2,3 • IO56 г, или около IO22 солнечных масс. Де Ситтер предлагал для начального и современного радиусов оценки 7,6 • IO26 см и 15 • IO26 см соответственно.
§ 5. Общая нестатическая модель
Теория «расширяющейся вселенной» Леметра была только первым вариантом однородной космологической модели, основанной на решении Фридмана. В результате последовавших работ теория Леметра подверглась радикальному обобщению и оказалась одним из простых частных случаев общей космологической модели нестатического типа.
В 1931 году Эйнштейн показал [126], что, отказавшись от условия статичности, можно получить формально непротиворечивую космологическую модель на основании первоначальных уравнений поля, не содержащих космологического члена. Согласно этой модели, пространство в целом в каждый данный момент удовлетворяет геометрии Эвклида, но, как и в теории Леметра, расширяется, вызывая эффект «красного смещения» в спектрах далеких источников излучения. Вскоре Гекман [127]t пользуясь уравнениями поля с космологическим членом, построил нестатическую модель гиперболического типа, а затем Колер [128] разработал обобщенную модель, в которой эллиптическое, эвклидово и гиперболическое расширяющиеся пространства содержатся в виде частных случаев.
Не стремясь к систематическому обзору нестатической космологии, мы кратко рассмотрим основные свойства обобщенной модели.
Удобным формальным описанием нестатических моделей различных типов может служить линейный элемент, построенный впервые Фридманом и подробно исследованный Робертсоном [129] и Толманом [130]. Робертсоном было показано, что применяемая в космологии форма нестатического линейного элемента может быть строго обоснована при помощи двух следующих постулатов: 1) пространство и время являются ортогональными подпространствами четырехмерного континуума, вследствие чего линейный элемент можно писать в виде ds2 = gijdxldxi +dt2, itj = 1,2,3; 2) трехмерное пространство в целом однородно и изотропно.
