Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
8n(Q + p) = 2RV2e~g-g,
которое получается при сложении уравнений (V, 5,9), то после необходимых преобразований будем иметь формулу
з_ з_
J-(Qe2<J) + p^(e2<J) = 0. (V, 5,10)
Можно показать, что (V, 5,10) выражает закон сохранения тензора энергии-импульса.
Переходим к более подробному изучению уравнений поля. Функции QHp представляют собой полные плотность и давление материи, включая радиацию. Можно положить
Q = Qm +Qn P = Pm jT Pn (V, 5,1 1)
где значки m, г относятся к веществу и излучению соответственно. Давление вещества определяется средней кинетической энергией
177 беспорядочного движения частиц (галактик, частиц межгалактического вещества и т. п.). Оно значительно уступает давлению радиации, вследствие чего с достаточной точностью можно принять P = Pr- Соотношение qr = 3 рг дает qw =q — 3 р. Поэтому, комбинируя равенства (V, 5,9), получаем следующее выражение для плотности вещества
8jtQm = 6/ЙГ2*-* + Зі' + Zg2 - 4Л. (V, 5,12)
Если модель принадлежит к эвклидову или гиперболическому типу, то она является бесконечной не только в пространственном, но и в материальном отношении. Замкнутая же модель, объем пространства которой равен 2я2/?3, имеет конечную массу
M = 2n2R3Qm, (V, 5,13)
представляющую в общем случае некоторую функцию времени. Если при помощи соотношения Qw =Q — 3 р переписать (V, 5,13) в виде M = — 6я2pR3 + 2я2QR3t то после дифференцирования по времени получится
Ї — xJr^ + '-tf + JH
или, вследствие (V, 5,10),
^ = (V, 5,14)
Этим уравнением определяется изменение массы замкнутой модели со временем.
В частном случае замкнутая модель может удовлетворять закону сохранения массы. Тогда согласно (V, 5,13,14) получится
_ Ol _ J^
Qm » P ?4 »
где a,? — постоянные. Следовательно полная плотность материи в этом случае равна
__а
Q ~ Я3 "Т" R*
а радиус модели удовлетворяет уравнению
R2 = у JiaR-1 + 8я ?/?"2 + 1 Л/?2 ~ 1,
составленному впервые Леметром и исследованному затем Де Сит-тером. Если пренебречь давлением, положив ? = 0, то получится уравнение (V, 4,8), рассмотренное еще Фридманом и положенное позднее Леметром в основу его теории «расширяющейся вселенной».
179 Можно сказать, что замкнутая нестатическая модель постоянной массы есть модель Фридмана — Леметра.
Оставляя специальный случай постоянной массы, приведем теперь общую классификацию нестатических моделей в зависимости от характера их изменения со временем.
Сначала рассмотрим замкнутые модели, характеризующиеся вещественным R0.
В качестве основного дифференциального уравнения, определяющего радиус как функцию времени, мы примем второе из (V, 5,9), переписав его при помощи соотношения g =2 RR-1, в виде
tf =± 4 JiQtf2 + |tf2 A-I= ± Rj/ у (A-F), (V, 5,15)
где через F обозначена функция
F = 3R~2 — 8Kq. (V, 5,16)
Прежде всего заметим, что плотность q, входящая в определение Ft является убывающей функцией радиуса не только в специальном случае M = const, но и в общем случае. В самом деле, уравнение (V, 5,10) после умножения на tfo можно привести к виду
TB =-3 (Q +A R-1R9 (V, 5,17)
что и доказывает наше утверждение. Кроме того, переписывая (V, 5,17) в форме ^ qR3 =—3pR2, мы убеждаемся в том, что произведение q/?3 является также убывающей функцией радиуса, вследствие чего плотность убывает быстрее чем tf-3. Пользуясь этим заключением, исследуем ход функции F с радиусом.
Если положить tf 0, то по определению (V, 5,16) получим F — OO. С другой стороны, при увеличении R от нуля функция F возрастает от —оо до нуля. При этом она остается монотонной и не имеет никаких особенностей. Действительно, из ее определения вытекает
или, согласно (V, 5,17),
g = _ 6tf-3 + 24я (q + р) R-K (V, 5,18)
Поэтому особенности могут появиться лишь в точке + р) = = tf-2, которой соответствует значение
F = tf-2 + 8rtp>0. (V, 5,19)
179 Далее, при R -> оо функция F асимптотически приближается к нулЪ со стороны положительных значений. Она обладает по крайР^б мере одним максимумом, величина которого дается формул , (V, 5,19). В частных случаях могут иметь место и другие особ ности, но они требуют соблюдения специальных условий.
Вернемся к уравнению (V, 5,15), которое имеет вещественное решение при F ^r Л. 0
Пусть значение Л совпадает с Fmах» обозначим его через Согласно (V, 5,15) имеем гл
s «.
R2 = ^R2(Ae-F), R = ^R(AE-F)-±R2d?t..., ^
вследствие чего при F = Fmax все производные R1 R1 ... Ясче зают. Это показывает, что в точке максимума функции F уравн^ни^ (V, 5,15) при Л = Ae имеет стационарное решение R= се При помощи равенства (V, 5,18), которое в точке максимума 4ji(q + р) = R-2, а также соотношения (V, 5,19), определяюп величину Fmax* находим связь между Q1 р и F для стационара-решения
8лр = Ae- RJzt 8лq = 3RE2 — Л?.
'Л
Сравнивая эти формулы с (V, 3,5,6), приходим к заключению/ что принятое значение космологической постоянной дает в точке максимума функции F статическое решение Эйнштейна.
Рассмотрим теперь случаи: 1)Л > Л?, 2) Л = AEt 3) О < Л <Л?, 4) Л ^ 0.
