Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Следуя Зеелигеру, пытавшемуся устранить космологический парадокс классической теории тяготения путем отказа от точной формы закона Ньютона, можно преодолеть это затруднение при иомощи подходящей переделки уравнений поля (V, 2,2).
160 Эйнштейн показал [117], что для согласования с представлением об однородной статической вселенной уравнения поля следует дополнить космологическим членом. Обобщенные таким образом уравнения поля, рассмотренные нами в главе 1, имеют вид
Ru - т Єй R + aSH = - 8яГ„, (V, 2,10)
где Л — космологическая постоянная, предполагаемая весьма малой.
Напомним, что такое обобщение находится, как мы указывали, в согласии с основными требованиями теории относительности и в приложении к конкретным задачам приводит при достаточно малом Л практически к тем же результатам, как и первоначальная форма уравнений поля (V, 2,2).
§ 3. Статическая космология
Переходим к краткому обзору статической космологии, основанной на обобщенных уравнениях поля (V, 2,10).
Как мы указывали ранее, задачей релятивистской космологии является разработка теории вселенной как целого. Объект этой космологии не ограничивается наблюдаемой нами частью вселенной, но охватывает совокупность всех тел, как вошедших уже в пределы нашего опыта, так и тех, которые остаются еще вне этих пределов. При этом, отвлекаясь от конкретных свойств и особенностей космических тел, в релятивистской космологии обычно предполагают, что выбор места и направления наблюдения не может оказать влияния на общую картину мира. Иными словами, допускают, что строение пространства и законы распределения материи инвариантны по отношению к различным точкам и направлениям, т. е.,дто вселенная в целом однородна и изотропна. Далее предполагается, что дискретное распределение космической материи в мировом пространстве может быть заменено непрерывным. Введенное в качестве упрощающего условия, это допущение представляет собой новый постулат, утверждающий, что общие свойства вселенной не зависят от имеющего место в действительности дискретного распределения космических масс, от наблюдаемой структурности вселенной. Законность подобного упрощения далеко не является очевидной. Пример теории Ламберта — Шарлье показывает, какое важное космологическое значение может иметь учет структурности в распределении материи.
Статическая космология содержит, кроме того, специальное условие статичности, согласно которому метрическая структура пространственно-временного континуума, а также плотность и давление материи не зависят от времени. Математическая разработка космологии оказывается при этом аналогичной задаче
V4Il 735
161 предыдущего параграфа и требует лишь замены уравнений поля (V, 2,2) обобщенными уравнениями (V, 2,10). Напишем эти уравнения в форме
которая легко получается при помощи соотношения R = 8л T + + 4А, представляющего собой результат свертывания (V, 2,10). Сохраняя линейный элемент (V, 2,1) и повторяя вычисления предыдущего параграфа, можно убедиться в том, что уравнения поля (V, 3,1) приводят к системе трех уравнений
отличающихся от (V, 2,7) только членом Aea.
Найдем условие совместности трех уравнений (V, 3,2). Складывая первое уравнение с третьим и комбинируя результирующее соотношение со вторым уравнением этой системы, легко найдем
Повторяя вычисления предыдущего параграфа, внесем эти значения в первое или третье из уравнений (V, 3,2) и после соответствующих преобразований получим условие совместности
1) P' = о, Q, P Ф 0 2) Q - P = 0, ?' ф 0 3) Q = р = 0, ?' = 0#
Первый случай соответствует решению Эйнштейна [117], который впервые применил теорию относительности к космологической проблеме. При ?' = 0 из второго равенства (V, 3,3) находим
Ril = _ 8я (Tij - j- gliT) + Aftye (V, 3,1)
a' = -j — ~ + Area + 8ягоеа, = + j — Area + Snrpea.
(V,3,3)
(e + P)?' = 0,
совпадающее с условием (V, 2,9).
Здесь возможны три частных случая:
(V, 3,4)
(V, 3,5) связывающую космологическую постоянную со средней плотностью и давлением материи.
Если ввести обозначение
#-2 = Л — 8л р (V, 3,6)
и положить ? =s 0г, то решение примет вид
и приведет к линейному элементу Эйнштейна
ds2 =--—2 — r2d02 — г2 sin8 Qdcp8 + di\ (V, 3,7)
Согласно этому решению пространство имеет форму трехмерной сферы радиуса R1 тогда как четырехмерный пространственно-временной континуум представляет собой цилиндр с неискривленной осью времени.
Во втором из перечисленных случаев, когда q = р = 0, ?' Ф О уравнения (V, 3,3) дают функции
в« = (1 - ^ Ar2)-1, = I — 1 Ar2, (V, 3,8)
соответствующие решению Де Ситтера [118]
ds2 =--^7r - гЧЄ2 - г2 sin2 Odcp2 + (1 — ^J d/2, (V, 3,9)
1 — Д2
где
/?2 =э ЗА-1. (V, 3,10)
Это решение предполагает, что сферическую форму имеет как трехмерное пространство, так и четырехмерный пространственно-временной континуум. Третий случай (q = р = ?' = 0), как нетрудно убедиться, дает а, ? = const, A=O и приводит к линейному элементу специальной теории относительности, который не представляет космологического интереса.
