Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Переходя к краткому рассмотрению теории Леметра, мы еще раз вернемся к решению Эйнштейна и представим линейный элемент (V, 3,7) в несколько иной форме.
Если вместо координаты г ввести переменную я|э, заданную соотношением г = /?sim|), то (V, 3,7) примет вид
ds2 = — R2 (dtp® f sin2 г|idS2 -+ sin2 г|з sin2 0Жр2) + dt2, (V, 4,1)
где R определяется, как и прежде, формулой (V, 3,13).
Вместо (V, 4,1) напишем
ds2 = — R2do2 -f dt2, (V, 4,2)
где квадратичная форма
do2 = у і Idxi dx> = dty2 + sin2\|)d@2 + sin2 яр sin2 Qdy2 (V, 4,3)
определяет линейный элемент трехмерного сферического пространства единичной кривизны с тензором Риччи
Rii = -2yih (V, 4,4)
как это следует из формулы (I, 2, 27) для пространства постоянной кривизны.
При постоянном R линейный элемент (V, 4,2) дает, как мы знаем, статическую модель Эйнштейна. Отказавшись от этого условия, будем, следуя Фридману, искать решения уравнений поля в предположении, что R представляет собой функцию времени.
Прежде всего найдем символы Кристоффеля для (V, 4,2).
Пусть каждый из индексов /, /, k отличается от четырех. Метрический тензор имеет в рассматриваемом случае ковариантные
?44 = 1, gi4 = 0, gij = — R2yu и контравариантные компоненты
g44=l, gi4 = 0, ?'' = --?,
169 где У — Приведенные миноры элементов Y // в определителе
Iy/iI =Y-
Определитель метрического тензора, как нетрудно убедиться, равен
g = — R*y.
Если обозначить через ю индекс суммирования, принимающий значения 1, 2, 3, и воспользоваться очевидным равенством
Г?/= у «*г//вв + f ^rf7e4,
непосредственно вытекающим из определения символов Кристоффеля, то легко получить ряд соотношений
г?/ = ft, H/ = AAY//f г?4 б*, гЬ = гі = rb = о,
в которых звездочка поставлена над величинами, относящимися к трехмерному пространству с линейным элементом (V, 4,3). При выводе этих соотношений следует помнить, что коэффициенты Y// не содержат времени.
Найдем далее компоненты тензора Риччи. Внеся написанные выше выражения для символов Кристоффеля в определение (I, 2,21), получим после несложных преобразований
#44 = 3RBT19 Ri4 = о, Ru = Rii - (2R2 + RR) у„.
Как и прежде, будем считать, что в избранной системе координат материя покоится. Воспользовавшись определением (V, 2,5) и повторяя выкладки § 2, легко составим выражения для контравариант-ных компонент тензора энергии-импульса
Tit = -JiP, T44 = g% Tii = O.
Ковариантные компоненты и скаляр этого тензора будут
Tii = — giiPf T44 = Qi T = Q- Зр.
Мы имеем теперь возможность написать уравнения поля в развернутой форме. Положив для простоты P= 0, получим
Rli = (2R2 + RR- AR2 - 4kR2q) yih ^
3 RR~l — A = — 4jtq.
Первые шесть уравнений (V, 4, 5) вместе с (V, 4,4) приводятся к следующему
2 R2+ RR- AR2 - 4JiR2q +2 = 0,
170 которое при помощи последнего из (V, 4, 5) можно представить в виде
fr-T^e+J a^*-(V, 4,6)
Воспользуемся этим уравнением для определения зависимости между плотностью материи и радиусом. Дифференцируя (Vt 4, 6) по времени и внося затем R из (V, 4,5), получаем Rq + 3Rq = О, откуда
Q = <xtf-3, (V, 4,7)
где а — постоянная интегрирования. Плотность материи обратно пропорциональна кубу радиуса. При помощи (V, 4,7) мы получаем теперь из (V, 4,6) дифференциальное уравнение для определения радиуса
Rt = ^ aR-* + 4 AR2 - 1. (V, 4,8)
Космологическая модель Леметра представляет собой четырехмерный пространственно-временной континуум, заданный линейным элементом (V, 4,1), в котором радиус является функцией времени и удовлетворяет уравнению (V, 4,8). При этом из двух возможных случаев R ^ 0 выбирается первый, вследствие чего теория Леметра и является теорией «расширяющейся вселенной».
Прежде всего сравним модель Леметра со статической моделью Эйнштейна.
Если положить R = R0i то (V, 4,5,7—8) дадут
е = 4, *0 = Л"2\
показывая, что модель Эйнштейна представляет собой равновесное состояние модели Леметра. Однако нетрудно убедиться в том, что это равновесное состояние является неустойчивым. Действительно, пусть модель Эйнштейна была выведена в какой-либо момент из состояния равновесия, вследствие чего радиус кривизны приобрел малое положительное приращение у = R— R0. Так как согласно предположению R > 0 и следовательно */> 0, то приращение будет возрастать, и модель Леметра будет продолжать расширяться, удаляясь от состояния равновесия. Расширение должно сопровождаться монотонным убыванием плотности согласно (V, 4, 7). Можно сказать, что модель Леметра, все более удаляясь от модели Эйнштейна, асимптотически приближается к модели Де Ситтера бесконечно большого радиуса.
В процессе расширения модели Леметра объем пространства V = 2я2R3 возрастает со временем пропорционально кубу радиуса, тогда как полная масса M = 2л2а остается постоянной.
171 Пользуясь соотношением (V, 3,15), находим 4яа =/?0, вследствие чего уравнение (V, 4,8) для радиуса модели Леметра можно переписать в виде
Я = j/y ЯоR-1 + 4 №2- 1* (V, 4,9)
откуда после интегрирования находим
