Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Перечислим основные свойства космологической модели Эйнштейна.
Квадратичная форма (V, 3,7) показывает, что пространство этой модели является трехмерной сферой и имеет конечный объем
2JtnlR ~
v e 2IfI (1 ~ A) r2sin© d<p de dr=2я2/?3, (V,3,ll) 0 0 0
1 Выбор численного значения постоянной ? не играет принципиальной роли и определяется масштабом временной координаты в (V, 2,1).
11 735 а63 или, если ПОЛОЖИТЬ р=0,
V = 2л2Л 2, (V,3,12)
так как радиус пространства, согласно (V, 3,6), определяется в данном случае формулой
R = A2. (1/,3,13)
Расстояние до наиболее удаленной точки пространства выражается величиной
r2v 2
2j(l-5) dr-nR,
а длина окружности, образованной каким-либо пространственным направлением и представляющей наибольшее линейное протяжение в модели Эйнштейна, равна 2л/?.
Собственная плотность материи выражается через космологическую постоянную при помощи соотношения
е = ^. (V, 3,14)
непосредственно вытекающего из (V, 3,5). Поэтому полная масса равна
M = Y лЛ 2. (V, 3,15)
Это показывает, что величина космологической постоянной, а, следовательно радиус и объем пространства, а также средняя плотность определяются в модели Эйнштейна полным количеством материи.
Отметим еще интересную гравитационную особенность модели Эйнштейна.
Если в данный момент какое-либо тело покоиіся относительно окружающей космической материи, то общее гравитационное поле не может привести его в движение. Действительно, если в уравне-
dx°
ниях геодезической линии (I, 2,16) положить = 0,а = 1,2,3, то получится
Jftcflf dt"
+ г4а4=о
или
164
(Px0 п так как символы Кристоффеля Г44, проводящиеся к величинам — -i- goa ^L t тождественно исчезают. Таким образом, модель Эйн-
* дхг
штейна свободна от гравитационного парадокса типа парадокса Зеелигера.
Если принять, что средняя плотность материи составляет величину порядка 10~30г/сле3, то, переходя к релятивистской системе единиц и пользуясь формулой (V, 3,14), получим
Л = 9,3 - IO-58 см-2.
Радиус кривизны оказывается при этом равным 3,3 • IO28 см, т. е. около IO10 парсеков, весь объем пространства составляет 7 • IO86см3 или около 3 • IO31 куб. парсеков, а полная масса достигает 7 • 105вг или около 3-Ю23 солнечных масс.
Заметим, что с точки зрения небесной механики оценка космологической постоянной величиной порядка 10~57 см~2 может считаться допустимой. В самом деле, в обобщенном решении Шварц-шильда (II, 1,12) отношение дополнительного члена к основному
Ar3
равно и для не очень больших расстояний должно быть исчеза-
юще малым. Так, например, для орбиты наиболее удаленной от Солнца планеты — Плутона оно составляет величину порядка Ю-12, вследствие чего эффекты, обусловленные космологическим членом, не имеют небесно-механического значения.
Переходим к краткому описанию космологической модели Де Ситтера. Согласно линейному элементу (V, 3,9) пространственно-временной континуум этой модели представляет собой четырехмерную сферу радиуса (V, ЗЛО). По строению трехмерного пространства модель Де Ситтера не отличается от модели Эйнштейна, как и в последней, пространство Де Ситтера является сферическим и обладает конечным объемом. Метрическое различие моделей относится лишь к измерению времени.
Наиболее характерная особенность модели Де Ситтера состоит в отсутствии материи с пространственной плотностью. Действительно, решение (V, 3,9) имеет, как мы видели, место лишь при Q = P = 0. Вследствие этого статическую модель Де Ситтера можно называть моделью «пустого мира», полностью лишенного материи. Однако подобная интерпретация решения (V, 3,9) является неточной. Как впервые указал Эйнштейн [119], решение Де Ситтера удовлетворяет уравнениям поля для пустоты лишь при г < тогда как для сферы г = R оно нарушается. Это показывает, что материя, определяющая геометрию пространственно-временного континуума (V, 3,9), распределена на указанной сфере.
В отличие от модели Эйнштейна, гравитационное поле модели Де Ситтера вызывает ускорение покоящихся тел. В самом деле, ускорение частицы, покоящейся относительно наблюдателя,
11*
165 Определяется согласно уравнениям геодезической линии формулами
= 1^44» G — 2, 3.
Символы Г?4 исчезают при а =2,3. Однако Г{4 = — ^ (l —.
Поэтому покоящееся в модели Де Ситтера тело обладает радиальным ускорением
&Г Г Л г2,
ЗГ* =7^(1 - зр)» (V, 3,16)
которое равно нулю лишь в начале координат. Таким образом, в модели Де Ситтера общее гравитационное поле вызывает рассеяние небесных тел. Отметим интересную оптическую особенность модели Де Ситтера.
Пусть распространение света происходит вдоль радиального направления. Положив в линейном элементе (V, 3,9) с/в = d(p=0 и ds = Ot получаем уравнение
| = (V, 3,17)
показывающее, что для распространения света между началом координат и точкой сферы г = R необходим бесконечно большой промежуток времени. События, происходящие в точках г = Ry оказываются недоступными для наблюдателя, помещенного в начале координат, а указанная сфера приобретает характер «горизонта», ограничивающего часть пространства, доступную одному наблюдателю.
