Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим еще эффект Допплера в модели Де Ситтера. Пусть источник света, имеющий для простоты лишь радиальную составляющую скорости, излучает в момент tt световой импульс длины волны X. Найдем длину волны X + ЬХ, измеренную в момент t2 наблюдателем, покоящимся в начале координат. Согласно общей формуле (IV, 3,1), принцип Допплера выражается в данном случае соотношением
H^-S=(S)1- ff«
Связь между моментами излучения и наблюдения определяется формулой (V, 3,17)
dt [L R2J 9 которая после интегрирования дает
о 1 ~ ф
766 откуда, дифференцируя по /ь получаем
!-»+(«-^Гаг' ^3'19*
dr
где л — радиальная компонента скорости источника в момент излучения.
Для вычисления I^ji воспользуемся последним из уравнений геодезической линии
d4 р4 dxa dx$ _ Л
+ 1 a? л" "л
которое в нашем случае принимает вид
dH г4 і dt \2 , 9Г4 dt dr __
Применительно к линейному элементу (V, 3,9) имеем
^44 — О, Г*14 = ^2^1
Следовательно,
fft __ 2г Л __ ^2 Г"1 dl = 0
^2 R2\{ R2) ds ds
Это уравнение легко интегрируется, приводя к соотношению
I= Л(1-Й"'. (V, 3,20)
где h — постоянная интегрирования, зависящая от скорости движения источника и не принимающая отрицательных значений. Если внести (V, 3,19—20) в (V, 3,18), то получится формула
- A(i _?)-' + А(І (V,з,2і)
определяющая допплеровское смещение спектральных линий в зависимости от скорости движения источника и от расстояния до него в момент излучения. В частности она показывает, что для любого неподвижного источника, лежащего вне начала координат, имеет место «красное смещение»
= (V, 3,22)
В общем случае смещение может быть как «красным», так и «фиолетовым» в зависимости от знака и величины производной .
Для приложения (V, 3,21) к реальным космическим объектам, например к внегалактическим туманностям, необходимо сделать
167 ту или иную гипотезу об их распределении и движении. Одна из подобных гипотез была высказана и подробно рассмотрена Толмэ-ном [120], который допустил, что наблюдаемая часть системы галактик приблизительно удовлетворяет условию стационарности, согласно которому число галактик, вступающих в доступную наблюдению область пространства, равно числу галактик, покидающих эту область за то же время. Подробная дискуссия привела к заключению о том, что «красное» смещение в спектрах внегалактических туманностей должно преобладать над «фиолетовым». Однако гипотеза Толмэна не объясняет полного отсутствия «фиолетового» смещения в спектрах далеких галактик и не приводит к известной линейной корреляции Хаббла между величиной смещения и расстоянием. Вторая гипотеза принадлежит Вейлю [121]. Подробный анализ ее, выполненный Робертсоном [122] и самим Вейлем [123], показал, что в модели Де Ситтера можно получить формально удовлетворительную интерпретацию линейного закона Хаббла. При этом, по Вейлю, нужно только допустить, что «мировые» линии внегалактических туманностей составляют семейство геодезических линий, имеющих общую точку в прошлом. Не приводя вычислений, которые особенно просты в координатах Робертсона, заметим, что гипотеза Вейля позволяет представить принцип Допплера в модели Де Ситтера в форме (см., например, [88]).
A+^= е* «.-<¦>, (У.3,23)
где k =R-1. Поэтому, ограничиваясь значениями г, малыми по сравнению с Rt можно принять приближенный закон
f = Ar, (V, 3,24)
формально совпадающий с линейной корреляцией Хаббла, так как в первом приближении- переменная г пропорциональна расстоянию, определяемому астрономическими методами.
Если принять подобную интерпретацию и отождествить (V, 3,24) с законом Хаббла, положив k = 6 • 10~28 см~1у то для радиуса модели Де Ситтера получится 1,7 • IO-7 см, а космологическая постоянная согласно (V, 3,10) будет равна 1,1 . 10~54 см~2. Хотя последняя величина на три порядка превосходит значение космологической постоянной, выведенное в модели Эйнштейна, тем не менее с точки зрения небесной механики она остается еще допустимой» так как отношение двух членов обобщенного решения Шварцшильда для орбиты Плутона оказывается и теперь достаточно малым (порядка Ю-"9). Однако расстояние до «горизонта» в модели Де Ситтера лишь на один порядок превосходит расстояния, доступные крупнейшим современным инструментам.
168 § 4. Теория «расширяющейся вселенной» Леметра
Если исключить линейный элемент специальной теории относительности, то при сделанных в предыдущем параграфе предположениях уравнения поля допускают, как мы видели, только два решения, которым отвечают космологические модели Эйнштейна и Де Ситтера. Сохраняя условие однородности, можно получить новые космологические модели, если отказаться от условия статичности и искать нестатические решения уравнений поля.
Впервые нестатическое решение уравнений поля было получено советским математиком А. Фридманом [124]. Впоследствии этим решением воспользовался Леметр [125J, построивший и изучивший первую космологическую модель нестатического типа, получившую широкую известность под названием теории расширяющейся вселенной.
