Уравнение поля Эйнштейна и их применение в астрономии - Богородский А.Ф.
Скачать (прямая ссылка):
^Г2. (V, 1,10)
Отношение і-го члена суммы (V, 1,10) к предыдущему равно
Щ
15? Отсюда следует, что сходимость суммы (V, 1,10), устраняющая оптический парадокс1, обеспечивается соотношением (V, 1,9). Таким образом, вселенная Шарлье, отвечающая концепции пространственной и материальной бесконечности, при соблюдении условия (V, 1,9) свободна как от гравитационного, так и от оптического парадоксов.
Интересный анализ теории Шарлье содержится в работе академика В. Г. Фесенкова [114], а также в статьях М. С. Эйгенсона [115]. Однако мы не будем останавливаться на более глубоком рассмотрении этой теории, так как с интересующей нас точки зрения она представляет лишь пример возможного устранения космологических парадоксов в рамках концепции пространственной и материальной бесконечности вселенной. Отметим только, что выводы теории Шарлье не содержат явного противоречия с современными данными наблюдений (см., например, [116].
§ 2. Гравитационный парадокс и уравнения поля теории относительности
Мы видели, что гравитационный парадокс Зеелигера возникает при попытке приложить закон тяготения Ньютона к бесконечному пространству, заполненному материей с конечной плотностью. Точная форма закона Ньютона оказывается несовместимой с предположением постоянной плотности во всем пространстве. С точки зрения классической механики устранение парадокса достигается путем отказа от точной формы закона Ньютона или путем постулирования соответствующего распределения материи, как это принято, например, в теории Ламберта—-Шарлье. Естественно поставить теперь вопрос о возможности согласовать гипотезу равномерного распределения материи с уравнениями поля теории относительности.
Допустим, что вся космическая материя непрерывно распределена в мировом пространстве с постоянной собственной плотностью Q и постоянным давлением р. Вследствие полной равноправности всех точек и пространственных направлений, линейный элемент должен иметь в данном случае форму, независящую от выбора начала координат и удовлетворяющую условию сферической симметрии. Его можно принять в виде
ds2 = — еЧг2 — rW — г2 Sin2 Mp2 + еЫР, (V, 2,1)
где а, ? — функции одного г.
С математической точки зрения поставленный выше вопрос сводится к задаче: допускают ли уравнения поля Эйнштейна
Ril-T SiiR- -ZnTij (V, 2,2)
1 Если сумма (V, 1,10) расходится, то вследствие эффекта экранирования
звезд, яркость неба будет равна яркости звезды.
158 решение в форме (V, 2,1), отвечающее принятому распределению материи?
Представим уравнения поля в развернутой форме. Прежде всего, с целью упрощения последующих выкладок, напишем систему уравнений (V, 2,2) в несколько ином виде. Умножив (V, 2,2) на g?i и произведя полное свертывание, получим соотношение R = 8я7\ которое позволяет привести уравнения поля к виду
= ^ftiT). (V, 2,3)
Этой формой уравнений поля мы и будем пользоваться в дальнейшем.
Как мы видели в главе II, в случае квадратичной формы (V, 2,1) диагональные компоненты тензора Риччи определяются формулами
P _ ?w <*'?' , P'2 а'
Kii-у— — + т~Т•
R22= е^ 1 +f (?'-а')]-1,
1 + JL (?' _ а')J sin2d — sin2 д,
Rss = е-
(V, 2,4)
«»-«»-(—^+1-?--г-4") •
тогда как остальные шесть компонент этого тензора тождественно исчезают.
Тензор энергии-импульса находится по общей формуле (I, 4,7^
Т" = (Є + Р) Ai d-i - g'lp. (V, 2,5)
Считая космическую материю в среднем неподвижной, допустим.
dx°
что из четырех компонент вектора ~ отличается от нуля лишь dt
последняя удовлетворяющая соотношению
(dt 2
Поэтому, пользуясь определением (V, 2,5) и принимая для компонент метрического тензора значения, отвечающие линейному элементу (V, 2,1), легко получаем
T11 = ре\ T22 = pr\ T33 = р/-2 sin Ч
T44 = вЛ T-Q-Зр, Tii = O1 ІФІ '
Внося эти значения, а также выражения (V, 2,4) для компонент
139 гензора Риччи, приведем уравнения поля к системе трех дифференциальных уравнений
? +і (Г=-4iK»fe-p), (V,2,71
-f + uX-Z-Z.-^b + V
относительно двух функций а, ?.
Найдем условие совместности уравнений (V, 2,7). Сложив перзое из уравнений с третьим, получим
a'4-?' = 8nre«(e+/>).
Это равенство вместе со вторым уравнением (V, 2,7) дает
а' = -І - у + 8nrqea, ?' = — I + у + 8лrpe« (V, 2,8) Если соотношения
4л*« (Q-P) = Ji-=Pl-1+^-,
непосредственно вытекающие из (V, 2,8), внести в первое или третье из уравнений (V, 2,7), то получится
(a' + ?')?' = 0, (P + Q)?'=0.
Это равенство и представляет собой условие совместности уравнений поля (V, 2,7).
При Q=P=O система (V, 2,7) переходит в уравнения поля для пустого пространства, которым отвечает решение Шварцшильда, рассмотренное в главе И. Поскольку этот случай не представляет сейчас интереса, остается положить ?' = 0. Однако при этом последнее из уравнений (V, 2,7) дает Q + Зр = 0, т. е. Q = р =0. Таким образЬм, уравнения поля не допускают решения при постоянных положительных Q, р\ как и закон тяготения Ньютона, они не совместимы с концепцией однородной статической вселенной.
