Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
в выражениях обобщенных сил qr и qr{r= 1,2, ...,N) должны быгь заменены согласно формулам (21.33) с учетом уравнений (21.34).
Заметим теперь, что так как ж = асозф, то мы можем написать:
cl2x
= г {— 2и)1Л1 sin ф — 2ш1аВ1 cos ф} +
-г®2 {(Х^Г ~аБ1 ~ 2«чаД. J соэф - (^2ш1А2 + 2А1В1 + А1<^ a^sm^ .
(21.38)
Разлагая правую часть уравнения (21.37) по степеням г и удерживая лишь первые два члена, находим:
N
Ну ( I1 9r'Qr (?1> • ¦ • - ?v. <h> ¦ • 4s, S)1 =
r= 1
= (sLj (a) + s2L2 (a)} cos ф + [sMt (a) -f e?M2 (a)} sin ф. (21.39)
Сравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках и одинаковых степенях е в правых частях выражений (21.38) и (21.39), находим:
-*&?• в'М-~ё?г.’ <21-40>
а также
(а) _ Al (а) (а) а dBi (а) _ мг (а)
2(- ' 2а)! da 2а)х mx ’ , /9141)
п _ BUa) , А (а) tMi (а) ^г(а) ‘
2 ' 2а)! 2ю1а rfa 2ю1пг1а
I 21] • СИСТЕМЫ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ДИФ. УРАВНЕНИЯМИ 2-го ПОРЯДКА 269
Нетрудно убедиться, что формулы (21.40) дают для А1(а) и В1(а) те же выражения, что и ранее полученные формулы (21.25).
Итак, уравнения второго приближения могут быть написаны в следующей форме:
Заметим теперь, что с точки зрения обычной теории малых колеба-
представляст собой обобщенную силу, действующую на первую нормальную координату.
Таким образом, чтобы написать уравнения второго приближения в явной форме, достаточно уметь подсчитать первую гармонику этой обобщенной силы с учетом членов не выше второго порядка малости.
Рассмотрим частный случай стационарных одночастотных колебаний с постоянной амплитудой. В этом случае фаза ф вращается равномерно с некоторой угловой скоростью <о1(а):
или Ах (а) -j- гЛ2 (а) = 0 .
Последнее равенство показывает, что Мх(а) и А1(а) будут величинами первого порядка малости, и потому с той же степенью точности можем написать:
da
dt
гМ, (а) + в'1М2 (а) е2Л, (а) Вх (а) в’2Аг (а) dB1 (а)
2 w1m1 (Oj 2и>1 da
гЬг (a) + e2L2 (в) =22?i (а) 2 Ai(a) dAx(a)
г){А-ГП-Л 9m ' 9m. л fin
(21.42)
2 wlm1a 2(о1 ' 2 <я1а da
нии, сумма
N
ф = (о 1(a)t-\-d, 0 = const.
Из (21.42) имеем:
(«1 (а) = (Djl
zLx (а) +^Ь2 (а) _ 2Д1 (а) , „2 Ai (а) dA\ (а)
О И» - VYi - п m^ 9(11.0 rl п
2а>1т1а 2а>1 ' 2«>1а da
а также
М, (а) + Ш2 (а) + s2m1A1(a)B1 (а) + s2т1А1 (a) dB^a) а = 0 ,
еЛ/1 (а) Ч- s2jW2 (а) = О
(21.43)
и
или, учитывая (21.40)
Возводя в квадрат и отбрасывая члены порядка малости выше второго, для квадрата чаетоты стационарных колебаний получаем окончательно
270 ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 1Гл. IV
следующее выражение:
о,* (а) = (21.44)
Итак, расчет стационарных одночастотных колебаний в системах со многими степенями свободы может производиться по следующей простой схеме.
Прежде всего определяем обобщенную силу, действующую на первую
нормальную координату; заменяем в ней qr, qr(r— 1, 2, ...,N) согласно формулам (21.33), где ц^’(а, ф)(r = 1, 2, ..., N) определены как вынужденные «регуляризированные» колебания, возбуждаемые в невозмущенной системе внешними силами, в режиме синусоидальных колебаний; раскладываем полученное выражение обобщенной силы, действующей на первую нормальную координату, в ряд Фурье. После этого коэффициент при синусе, взятый с точностью до величин второго порядка малости включительно, приравниваем нулю и получаем уравнение (21.43), из которого определяем стационарную амплитуду колебаний. Коэффициент при косинусе подставляем в правую часть формулы (21.44), определяющей частоту стационарных колебаний.
§ 22. Влияние внешних периодических сил на одночастотные колебания в системах со многими степенями свободы
Перейдем теперь к рассмотрению колебательных систем со многими степенями свободы, находящихся под воздействием внешних периодических обобщенных сил, зависящих явно от времени и имеющих следующий вид:
Qr (^i Чъ • • • > *7jy> 9i> • • • i 9f)> s) = s(?r Я1, • • ¦ > Я• • •,
+ e2(?;2’K <7i. • • •. 4N, ?1> • • •. ?iv) + • • • (22.1)
(r = 1, 2, ..N).
Тогда мы приходим к рассмотрению системы N уравнений второго порядка:
N
^I (<*„?, "Н crsQs) = ' (^> h' • • • 1 * ¦ ¦ > +
S=1
+ е2(?'2’ iyt, qu ...,qN, qx, ..., qN)+ ... (22.2)
(r= 1, 2, ..., N),
в которой, как и в предыдущем параграфе, qT{r= 1, 2, ..., ^ — обобщенные координаты, ars = asr, crs = csr — постоянные.
Предположим, как и в § 13, что функции Qr (v?, qu ..., qN,qx, • ¦ ¦
..., qN, s) (r = 1, 2, ..., N) являются периодическими по отношению к vt с периодом 2тс и могут быть представлены в виде конечных сумм Фурье с коэфициентами, являющимися некоторыми полиномами по отношению
к ?ЛГ== 2, ..., N).
§22] ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧ. СИЛ НА ОДНОЧАСТОТН. КОЛЕБАНИЯ 271
Кроме того, предположим, что для невозмущенной системы уравнений:
2 (ajs + crsg,)^0 (22.3)
S= 1
(r = l, 2, ..N)
выполняются условия, приведенные в § 21, стр. 261.
При этих предположениях будем искать решения системы (22.2), соответствующие одночастотному режиму, близкому к какому-либо нормальному колебанию, для определенности положим к нормальному колебанию с частотой <о1. При этом' будем рассматривать как нерезонансные случаи, так и резонансные.
