Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Функции (23.11) и (23.12) можно найти, применив ту же методику, что и в предыдущих параграфах, т. е. воспользовавшись формальным правилом, полученным в § 20, и проводя аналогию с результатами, полученными для системы с одной степенью свободы. Однако при применении принципа гармонического баланса в рассматриваемом случае следует помнить, что у нас параметры не постоянны, а зависят от ^ = 3^, и поэтому при дифференцировании надо всегда помнить, что z = et, а при интегрировании z считать постоянным параметром. Проведем подробные выкладки.
Дифференцируя ряды (23.9) с учетом того, что а и 0- должны удовлетворять уравнениям (23.10), найдем выражения для qs, qs (s =1,2,..., TV). Подставим полученные выражения в систему уравнений (23.3), правые части которой тоже разложим в ряды по степеням s. Приравнивая после этого коэффициенты при одинаковых степенях е, получим ряд систем:
N
S {«»(*) [wi(T)^- + 2v(T)‘°i(T)-Mif+ v2(T>-ef-] +
S=1
+ crs (t)^1’} =G;10)(t, a, 0, Ф) (23.13)
(r= 1, 2, ..., TV), d2u(2, 32ц(2> d2„(2)
+ сгДт)м'2>} =GHo’K a, rJ. Ф) (23.14)
(r= 1, 2, .. ., TV),
I 23] СИСТЕМЫ С МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИМИСЯ ПАРАМЕТРАМИ 285
в которых введены обозначения:
Grо К «, 0, ф) = QrO ь, а, 0, ф) —
N
- 2 {а«оо [&1’ со (ш1 (т)-v (х)) “ 2^1! w аВ1 ]cos ф -
8= 1
- «rs (х) [ 9s1] 00 а К ("О - '' (*)) + 2-Ps1’ (х) «1 (х) A j sin ф -
- [ 2a>! (х) ^\(Т) ars (х) + 9,' (х) ars (х) -t-сод. (х) ф‘“ (т) J а sin ф }.
(23.15)
N
а, 0, ф) = Ф?(- а, 0, ф)-2 {а„Ы [tf’WKW-^W)^-
- 2*'” (х)о, (х) аВ2 -f < (,) Л + ?а> (т)Bi + ?«1»(,) М--
— 9'1)(х) аВ\ J cos ф — ars (х) ? -р'1’ (т) К (xl — v (х)) а ^+2$1' (х) юх (х) А2 + + 2<р1" (х) АгВл + 9s1’ (х) а-^~ Ах + 9'“ (х) а Вг 9^ (х) J sin ф +
г d2<p<l> (z) dС?'1’ (Т) da (Т) da (t) П
+ Lа»(х) “5?— а + —л---------------гг1 а + ^ “ir1 А* J cos ф -
_ |- 2 ^ (х) ^ + ?J1) (т) d^l j а sin ф | f (23.16)
(r= 1, 2, ..., N),
тде также обозначено:
QN (х, я, 9, Ф) = <?“’ (х, 0, ?10, • • •, qN0, ?ю. • • •. ?л-о).
¦ФЯР(х, а, 0, ф) = ^'1?0>(,с, 8, ?ю» • ¦ ?\о» ?ю. •••> ?№>) +2 ['9^М®1) +
8=1
дО(1) /'^ср(1)('-) ~\ dw(1)
-1--^ ~ a cos ф + 9^ (х) cos ф^! - 9s1’ (х) a sin фВх ) + v (х) +
dqs v
d»s(1) -1 ^ г , Г ^Ч1’ , dW» / d2^1’ , ч ,
+ “ЩГ wi(") ] ~~ 2 {ars(x)[2 gzg^ ш1(^) + 2 a.afl v (x) -f 2 дадЬ v(x)^j +
S = 1
d2u™ d2ui^ d2ui^
+ 2-ww4%)Bl + 2~W~ (°lW5> + 2?3f,“>Wi^
du<-}’> QB, ^“s1’ 9 4, 3«‘J) rjs,/-)
' К ("“) - ^ (x)) "Ж- + 17- К (0 - * (')) -bft- +
Зф V^iVV ’V”// да ] da rnv ’VV/ да T a0 rf_
I Э“-^) ^(t)1 , rfars(^) Эи»1},Ы i danV Эи.Х).ю W\
9ф rfip J 1 dr 90 ' ' Л 9ф 1 J
(r=l, 2, . . ., N),
ф = 0 + &, qs0 = 9s1’ (x) a cos ф, qs0 = - 9^ (x) юг (x) a sin ф (»= 1, 2, ..., N).
286 ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ Егл. IV
Определим из системы (23.13) «в15 (т, а, 6, ф) (s=l, 2, ..., N). Для этого правые части системы (23.13) как периодические функции 0 и ф целесообразно разложить в ряды Фурье:
Ох,а,6,ф)= 2 (*, а) е^+М1), (23.17)
п, т
где
2тс 2тс
а) = 4^5 \ а’ 6> Ф) е~4(п0+тф) <^ф (23.18)
о о
(г=1, 2, ..., N).
Искомые функции Kg1’ (х, а, 0, ф) (s=l, 2, ..., N) также естественно представить в виде рядов
и'1’ (<с, а, 0, ф)= У ^’„(т, а) еКп0+™Ф) (23.19)
n, m
(s=l, 2, ..., N).
Подставляя значения а, б, ф) (s = 1, 2, N) и
С$(г, а, 0, ф) (r= 1, 2, ...,7V) (при подстановке считаем, что г —параметр) в уравнения (23.13) и приравнивая коэффициенты при одинаковых гармоника*х, получаем для определения коэффициентов к\Ц т (х, а) систему алгебраических уравнений:
N
_ . «-re V v I — '"К. “/-‘"Г/ "'П'-/ ” Г/" JTi-rs.
8—1
2. {ars (Т) f “ ^ (х) т% ~ 2v (т) (%) тп — v2 0е) (*)) *П? m(^j a) =
= g?’mK«) (23.20)
(r=l, 2, ..., TV)-
Решая эту систему, как и в предыдущем параграфе, с помощью введения нормальных координат находим:
N 2 “Hr’ (*)
^S) rn К a) = У, (t) —ГТ7~Т/.П—, M m (23.21)
n’ m V * 7 *S V I rrij (z) (t) — ((Oi (t) W + V (t) л)^] v 7
j=d
и, следовательно, для a> Ф) (s = l> 2, ..., TV) получаем
следующие выражения:
N 2 Sn.’m (т> a) <pjj) (T) ei(ne+m'^)
г/s11 ('С, б, ф)~ "V. V ©tf) (x) r-1, г а / ,-:-—¦г-——T-T—пп (23.22)
8 V ’ ’ 7 m;- (t) [o>3 (?)— (<»i (“) m + v (?) n)2] v 7
n, m j— 1
(s=i, 2.........TV).
Для того чтобы Mg1’(г, a, 0, ф) (s=l, 2, ..., TV) были конечны, необходимо, чтобы для любых г на интервале 0<г<^ знаменатели в правых частях (23.22) не обращались в нуль. Однако знаменатели могут обратиться в нуль для тех пи т., для которых выполняются
СИСТЕМЫ С МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИМИСЯ ПАРАМЕТРАМИ
287
равенства:
m(Oj (t) + n-i (%) = ± №j (г) (23.23)
или
п + »г± 1 = 0, (23.24)
так как ввиду того, что мы рассматриваем основной резонанс, при
некотором г(0сх<1) возможно юх(%) = v(х).
Поэтому условие конечности для u(s1} (х, а, б, ф) (s=l, 2, ..., N) принимает следующий вид:
N
2 а)?'1)(г)е^0+"‘Ф) = О. (23.25)
Г= 1 ’
(n+m± 1=0)
Принимая во внимание (23.18), (23.22) и (23.25), после ряда преобразований получаем «регуляризированное» выражение для its1 (~, а, 6) ф) (s=l, 2, ..., N):
N
u(su(z, а, 0, ф) = -^г 2S ff’Wx
п, то 3=1 (nq+p(m± 1)ф0 \
