Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Ввиду того, что исследование одночастотных режимов формально сводится к исследованию некоторого одного эквивалентного уравнения второго порядка вместо системы N уравнений второго порядка, то при построении приближеных решений для системы (22.2) воспользуемся, кроме методики и результатов предыдущих двух параграфов, также результатами главы III.
В нерезонансном случае*), исходя из соображений, приведенных в § 13 (стр. 158), решение системы (22.2) следует искать в виде асимптотических рядов
g-s = ^s1’ac0S(l) + eui1’(a, vt, ф) + е2г42’(а> v?, ф) + е3... (22.4)
(s=l, 2,..., N),
в которых и^'(а, ф, 'it), uls2'(а, ф, v/), ... (s=l, 2, ..., iV) — периоди-
ческие по обеим угловым переменным с периодом 2и функции, а амплитуда а и фаза ф должны быть определены из уравнений:
= еАг (а) + е% (а) + ...,
„ (22.5)
_i = а)х —j— ei^ (а) -j- e2i?2 (а) -j- ...
dt )
Для определения функций г^1’ (а, vt, ф), и(2' (а, -it, ф), ... (s= 1, 2, .. . N), Ах (а), А2 (а), .. .,В1 (а), В2 (а), . .. можем воспользоваться непосредственно результатами, полученными в § 13 для случая системы с одной степенью свободы.
Вместо системы (22.2), описывающей одночастотный колебательный режим, рассматриваем соответствующее ей одно уравнение второго порядка
N
= 2 К 9i% • • •. • • •. 8). (22.6)
Г=1
для которого, воспользовавшись непосредственно формулами (13.35),
*) Здесь под нерезонансным случаем мы подразумеваем случай, когда частота внешней силы v не совпадает ни с одной из собственных частот системы и не
выполняются соотношения типач*&— (fc=l, 2...............N), где р и q — целые
взаимно простые числа.
272 ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 1Гл. IV
находим:
N
ъА1 (а) = - 4п^ ^ ^ ^ (а’ 6’ Ф) sin Ф М ’
О 0 7*= 1
2и 2u N
еВ1(а)= -4п2Д(01а ^ ^2 ??Wro(a, 0, ф) cos ф dO в?ф,
1 О О Г=1
где введены обозначения:
г(?™(я, е> Ф) = <?"’(°, ?l1,flcos-’-! . .«р^’асовф, -«Р^аш^тф,
•••, — T^1>aa)isin Ф) (22.8)
(r= 1, 2, ... , TV).
Далее, находим и'1’ (а, ф, it) (s = 1, 2, . .., TV) как вынужденные «регу-ляризированные» колебания, возбуждаемые в невозмущенной системе (22.3) силами (22.8), которые представляем в виде сумм Фурье (т. е. внешними обобщенными силами в первом приближении, взятыми в режиме синусоидальных колебаний: qr — <р”’а cos ф, qr = — ф'^ао»! sin ф (г— 1,2, ...,iV):
г(?™(а> у1> Ф) = 8 2 &о (fl) ei(nV(+m4,) (22.9)
n,m
(r= 1, 2, N),
где
2и 2тс
'?;1o)(fl) = i 5 6> Ф)^1(пИт^0^ (22.10)
о о
(г=1, 2,
Итак, и^(а, vt, ф) (s=l, 2, ...,N) должны быть определены как вынужденные колебания из системы линейных дифференциальных уравнений:
N
2 (flrS^ + crX]>) = в 2 0% («) e*<«v*+-m+) (22.11)
S— 1 п, т
(r= 1, 2, ...,7V).
Здесь ф = а)1г + &.
Искомые функции и”’(a, v/, ф) (s = 1, 2, ..., Л’) ищем в виде рядов и'1’(а, st, Ф)= 2 *»‘?m(e)e«nv'+m4'> (22.12)
n, m
(5 = 1,2......TV),
в которых коэффициенты к^т(а) подлежат определению.
Подставляя значения и'^^а, vt, ф) (s=l, 2, ..., TV) (22.12) в уравнения (22.11) и приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках, получаем для определения коэффициентов к^т(а) (s=l, 2, . .., N)
§ 22] ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИ0ДИЧ. СИЛ НА 0ДН0ЧАСТ0ТН. КОЛЕБАНИЯ 273 систему алгебраических уравнений:
N
2 {ors [ — «>1т — 2шхтп — v2«2] + crs) к$т(а) = Q™ (а) (22.13)
S=1
(г=1, 2, TV),
для решения которой воспользуемся нормальными координатами.
Будем искать выражение для кп)т (а) в виде суммы
*?т (а) = 2 ck?(V (S = 1, 2, . .., TV), (22.14)
fr=l
где — нормальные функции, a ch — неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.
Подставляя (22.14) в систему уравнений (22.13) и учитывая, что <р№) (s, к = 1, 2, ...,7V) удовлетворяют системе однородных алгебраических уравнений
2[-«rX + cr,]?Jfc) = 0 (22.15)
8=1
(г= 1,2, ...,7V),
получим:
2 S as+
/1=1 S=1
(г =1,2, ..., А).
Умножая эти уравнения соответственно на ..., 9(^1)
и суммируя результат по г, находим:
2 сй [< - Km -f mf] 2 2 asr?(sh?rhl) = 2 (22.16)
ft=l s=l r=l r=l
Принимая во внимание ортогональность нормальных функций (выражения (21.9)) и обозначение (21.14), находим:
2 Q%4a)4h)
с, = 7=1 ,---—(ft=l, 2, ..., TV). (22.17)
11 mfc [а>|^ — (wxm + vn)*J 4 > > > / \ /
Подставляя значения ch (&= 1, 2, ...,7V) (22.17) в (22.14) и результат подстановки в (22.12), получаем выражения для и^‘(а, vt, ф) (s=l,2, ...,TV):
A- 2 tWo («) ei(nv‘ + m'^
s(h) r-=^_____________________________
s — (rev -Ь //гшх)2]
s(a, vf, Ф) = 2 S ?ih) r-1 r 2 - ,-------------;-----«1— (22-18)
x ’ *y *s Шь Гсо?— (rtv4-wu>ir v
n, m /г=1
(s = l, 2, ..., TV).
Для «регуляризации» выражений (22.18) заметим, что их правые части могут сделаться неограниченными, если пит таковы, что
± u)j = nv + moj,
а последнее равепство ввиду того, что мы рассматриваем нерезонансный
274 ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ [Гл. IV
случай, эквивалентно равенству
п? + (m2 — I)2 = 0, или 7г = 0, т= il-Таким образом, для «регуляризации» выражений (22.18) необходимо, чтобы при к— 1 отсутствовали члены с гармониками е±{Ф, а они как раз и будут отсутствовать благодаря нашему выбору функции (22.7). Итак, для Ид1' (ах, v?, ф) (s=l, 2, ..., N) получаем выражения:
