Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Ax(a), A2(a), ...; Вг(а), B2(a), ..., стоящие в правых частях выражений (21.19) и уравнений (21.15), могут быть определены совершенно так же, как и в предыдущем параграфе. Однако нетрудно убедиться, что первые члены разложений (21.19) и (21.20), необходимые для построения решений в первом и во втором приближении, могут быть найдены с помощью формального приема, сформулированного в предыдущем параграфе.
Выведем вначале формулы для первого приближения. Как и в предыдущем параграфе, в качестве первого приближения принимаем выражения
<7s —?s1>a eos ф (s = 1, 2, ..., N), (21.21)
в которых амплитуда а и полная фаза ф определяются уравнениями:
di>
—г = I
dt
+ &ВХ (а).
(21.22)
Здесь функции А1(а) и В1(а) можем найти, подставляя (21.21) в уравнения гармонического баланса:
2 1 N N
5 2 { 2 (агвЯв + сгвЯв) - (<71; • • •, qN, <7i, • • •, qN) ~
О r= 1
S=1
2к N
N
<?г2> (?1...Чн>Я1> • • •. Як) - ¦ • • } cos Ф = 0>
5 2 { 2 (а™? + crs4s) - sQrJ> (<7i, ¦ • •, qN, <7i> • • •. <7iv) -
0 r—t S— i
- S2<?'2' (qlt ...,qN, glt ...,gw)sin ф«гф = 0,
причем при подстановке ограничиваемся только членами первого порядка малости включительно.
Найдем явные выражения для Ax(a) и В1(а). Дифференцируя (21.21), учитывая при этом уравнения (21.22), находим с точностью до величин первого порядка малости:
qs = ср'1’ [г cos (а) — аш х sin ф — еаш1 sin фВх (а)],
qs = 9^’ [ — в2ш х sin фЛх (а) — аш2 cos ф — г2аш1 cos фВх (а)] (s = l, 2..........................................N).
(21.24)
5 21] СИСТЕМЫ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ДИФ. УРАВНЕНИЯМИ 2-го ПОРЯДКА 263
Подставляя (21.21) и (21.24) в выражения (21.23), находим с той же степенью точности:
271 N N
^ 2 'Р'-1’ { 2 — а™ (au)icos Ф + 2аа)1$ cos фВх (а) + 2еш1 sin фАх (а)) +
О Г= 1 8=1
2тс N
+ crsa cos ф] — s^1’(tp^’a cos ф, ..., — 9j1)au)1sin ф, . ..) j- cos ф е?ф = О,
N
5 2 $1> { 2 *Р®1) t — ars (аи)1cos Ф + 2au)1e cos фBx (а) + 2еа>1 sin фЛх (а)) +
О Г=1 8=1
+ crsa cos ф] —е^’^’асовф, ..., — sin ф, ...,) ^ sin ф йф = 0.
Меняя порядок суммирования и интегрирования, полагая при интегрировании по ф, что а —постоянная и учитывая, что
2те 2те 21
^ cos2 ф йф = и, ^ sin ф cos ф йф = 0, ^зн12фс?ф = тс,
0 0 О
получим:
N N
2аш1%еВ1(а) 2 Фг1)(р*1>аг, — aw 2 (c>-s ~ агУ-д Ъ ’фг1’ =
Г, 8=1 Г,3=1
2тс N
= — е ^ (?l1>a cos Ф> •••> — этф, ...)созфйф,
О 7—1
N
Г» 8=1
271 N
= — S ^ 2 фг^гЧ^’ясовф, — ф'^ао)! sin фг, ..Оэтф^ф.
О r= 1
Учитывая, что
N N
2 = «1. 2 (Crs ~ ат.“!) = 0.
Г, 3=1
S=1
окончательно получаем следующие формулы: 2п N
еА1(а) =
2»^»., ^ 2 008 Ф> • • •
О г—1
..., — tp”’aa)1 sinф, ...)зтфйф,
2я N
О г=1
..., — tpj1’aa)1sin ф,.. .) cos ф йф. j
Заметим теперь, что формулы (21.25) можно получить гораздо проще, проведя аналогию с результатами первого параграфа для системы с одной степенью свободы.
264 ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ ЕГл. IV Действительно, на основании (21.7) и (21.14), можем написать:
N
2 CrsTr1’^1’ =
Г, 8=1
Полагая ж = асойф, вместо (21.23) получаем следующие уравнения гармонического баланса:
2тс
О
N
-в2
г= 1
\ {^(SL+<r)~
<р$’ж, yfx,
j- cos ф йф = 0,
(21.26)
yWx,
ф^)} sin ф йф = 0.
-в2 r= 1
Отсюда совершенно очевидно, что уравнения первого приближения (21.22) должны оказаться теми же, что и для системы с одной степенью свободы с массой Шу, упругостью т^, находящейся под воздействием возмущающей силы:
3 2 (?(11>ж> ¦ • ¦ > ?n ж, Vi’x, • • •, 9n'x)-
r=i
(21.27)
Поэтому, воспользовавшись формулами (1.27), выведенными для случая системы с одной степенью свободы и подставляя в них вместо /(a cos ф, — аш sin ф) выражение (21.27), мы сразу находим формулы
(21.25).
Остановимся еще на простой энергетической интерпретации полученных формул (21.25).
Рассмотрим для этого выражение виртуальной работы оW, которую совершили бы возмущающие обобщенные силы
Q?' (?1> • ¦ ¦ > ?лг> ?1> • • • > Я\) (г = 2, . N)
в режиме синусоидальных колебаний
qs = <p5na cos ф, qs — — sin ф,
на виртуальных перемещениях
оqs = (р'1’ cos фоа — (р^’а sin фоф,
соответствующих вариациям амплитуды и полной фазы нормального колебания. Имеем с принятой степенью точности, т. е. с точностью до величин первого порядка малости включительно:
N
йРУ = е 2 фг1’ (т“>я cos Ф, •••, — «pl^auij sin ф, ...)Х
Г-=1
X [«pf1* cos фоа — (р'^а втф&ф]. (21. 28)
§ 21] СИСТЕМЫ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ДИФ. УРАВНЕНИЯМИ 2-го ПОРЯДКА 265 Возьмем среднее значение этой работы за полный цикл колебания:
2п
8Ж = ~ J ШЦ. (21.29)
о
Тогда, сопоставляя (21.28), (21.29) с (21.25), можем написать:
8VF = — т1ш1агВ1 (а) о a -f пг1со1азЛ1 (а) 8ф.
Обозначим символами
т w
8а ’ 8ф
коэффициенты при вариациях оа и оф в выражении для оW .
Тогда будем иметь:
л / \ 1 bw п / \ 1 8PF /0. ОА,
еА1(а) =--------, sВ (а) =----------------, (21.30)
1 ' ' т^ш^а оф 1 ' ти>ха оа ’ ' '
и поэтому уравнения первого приближения можно представить в виде
da 1 йТР
dt т^ю^а 8ф ’ dii 1 W
(21.31)
Итак, чтобы получить уравнения первого приближения, достаточно определить только среднюю величину виртуальной работы за цикл колебания, которую совершили бы возмущающие силы в режиме синусоидальных колебаний на виртуальных перемещениях, соответствующих вариации их амплитуды а и фазы ф.
