Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
угодно малых s, квадратичные формулы Т и V определенно положительны.
Пусть исследуемая колебательная система находится под воздействием малого возмущения, определяемого обобщенными силами
<?г (т> 6> Ях, • • •> 4n, Яи ¦¦¦, qN, г) = 9> Ях, ¦ ¦ -, In, qx, • • •, 4n) +
+ s2(?r2) К 9, ?it • • •, 4n, Я1, • • •, ?2v) + • • • (23.2) (r= 1, 2, . . ., N),
периодическими no 6 с периодом 2x и разлагающимися в конечные суммы Фурье, с коэффициентами, являющимися некоторыми полиномами по
отношению к qs, qs(s= 1, 2, ..., N). Кроме того, будем полагать, что db *
-^ = v(x) и функции v(x), ?г(х, 6, qu ..., qlt ¦¦¦, qN, г) (г = 1, 2, . . ., TV)
неограниченно дифференцируемы по х на интервале 0<x<L.
Тогда, согласно известным принципам механики, мы приходим к рассмотрению системы N нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка:
N N
ъ { 2 ars(x) ?s} + 2 Crs (т) (т> в> я 1, ¦¦¦, ЯN, 4N, в) (23.3)
S=1 S—1
(r = 1, 2, ..., TV).
Одновременно с системой (23.3) рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
2 «г. СО?*+ 2 сГЛ"К = 0 (г-=1, 2, ..., TV), (23.4)
S —1 s-1
для получения которой необходимо в (23.3) положить 8=0, а х рассматривать не как st, а как некоторый постоянный параметр.
В нашем случае вспомогательная система (23.4) играет такую же
роль, как и система (23.3), и мы ее в дальнейшем будем называть системой дифференциальных уравнений невозмущенного движения или просто
невозмущенной системой уравнений.
Как и в § 21, при помощи обычных методов можно для уравнений (23.4) построить решения, соответствующие нормальным колебаниям
Я<>‘> = ?(Ь) (z) a cos (шк(г)( + ак) (s, /с = 1, 2, ..., .V), (23.5)
§ 23]
СИСТЕМЫ С МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИМИСЯ ПАРАМЕТРАМИ
283
где tofe(x) (к = 1, 2, N) — собственные частоты, определяемые уравнением
Z)l|-ars('i:)a,2 + cr3('c)ll = 0. (23.6)
а к= 1, 2, N) — нормальные функции, являющиеся нетри-
виальными решениями систем однородных алгебраических уравнений
N
Во всех последних формулах величины ш/г (х) и <p(k> (х) (s, к=1, 2, ... ..., N) зависят от х как от параметра.
Если же теперь положить в (23.4) и (23.5) х = at, то функции (23.5) ¦будут только приближенно (с точностью до величин порядка малости е) удовлетворять уравнениям (23.4), представляя собой колебания с медленно меняющимися частотой и формой.
Прежде чем приступать к построению асимптотических решений системы (23.3), соответствующих одночастотным колебаниям, близким (при достаточно малом г) к одному из нормальных невозмущенных колебаний (23.5) (для определенности опять будем полагать к первому нормальному колебанию), допустим, что для всех значений параметра х, принадлежащих рассматриваемому интервалу 0 <x<L, выполняются условия, аналогичные условиям, приведенным в § 21 на стр. 261, т. е. допустим, что: 1) в невозмущенной системе, описываемой дифференциальными уравнениями (23.4), возможны незатухающие гармонические колебания с частотой coj (%), зависящие только от двух произвольных постоянных; 2) единственным решением системы (23.4), соответствующим равновесию, является тривиальное решение qx = q%... = = 0;
3) частота <«1(х), а также ни один из ее обертонов 2ш1(х), Зш1(х), ..., Аш1(х), ... не равны собственным частотам (и2(х), ш3 (х), ..., wjv М
невозмущенной системы.
При этих допущениях, естественно, согласно методике предыдущих параграфов и учитывая результаты, полученные в § 14, для системы с одной степенью свободы, искать решение возмущенных уравнений (23.3) в случае p = q— 1, т. е. соответствующее основному резонансу (резонансу с собственной частотой coj (х)) в виде асимптотических рядов *):
*) Как уже указывалось, все рассуждения могут быть без существенных
взаимно простые числа.
**) В дальнейшем верхний индекс у q4 будем опускать, помня, что мы рассматриваем колебания, близкие к первому нормальному колебанию.
(23.7)
2 ars (х) <p(sh) (х) <р?° (х) = 0,
S, г~ 1
N
(23.8)
S crs W (х) <p(rl) (х) = 0
Г, S=1
(к I).
¦qs ==?s1) (х) a cos (О + &) + ем'10 (х, а, 0, 0 + &) + е2м'2) (х, а, 0, 0 +&)+ ... **),
(s=l, 2, ..., N),
(23.9)
изменений перенесены на общий случай (-) ч (т), где р и q — некоторые
284 ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ ЕГл. IV
в которых t = s?, функции «"’(г, а, 0, 0+&), Hs2) (т, а, в, 0-f&), (s=l, 2, . .., N) — периодические по 0 и 6 + & с периодом 2тс, а величины а и &, как функции времени, определяются из системы дифференциальных уравнений
a, &) + sM2(,, а, &)+..., 1
* ...............„ , . (23-10>
dt
: Ш
1 (и) — V (г) + гВг (т, а, &) + г2?2 (г, а,
где u)j (т) — наименьший корень уравнения (23.6); ф"’ (т) (s = 1, 2, ..., N) — нетривиальные решения алгебраических уравнений (23.7).
Как и обычно, для решения нашей задачи необходимо найти таки& выражения для функций:
и“’(т, а, 0, В + Ь), »;«(х, а, 0, 0+»), ... (s=l,2.....TV) (23.11)
И
А(т> а> &)> А2Ь, а, Ь), ..., 5j(x, а, &), B2(z, а, &), (23.12)
чтобы асимптотические ряды (23.9) после подстановки в них вместо а и & функций времени, определяемых уравнениями (23.10), являлись решением системы (23.3).
