Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
п, т k~\
( nq + (m± 1 )р=?0) \ для k=l
X ei[nvi+m(vt+»)] (s = 1, 2, . .., TV). (22.25)
<?r(6, 9i, ¦¦¦, 9n, 9i, • 92V, s) =
= •••, ?2V, ?1, •••, 92V, s) + s-Ersin6 (22.26)
(r = 1, 2, .. ., TV),
N
2 («rs 9s + crs9r) =®<?r(9i, •••> 92V, 9i, •••, 92V, ?) + zEr sin 0 (22.27)
qB = cps1} a cos (0 -f- 8) (S = l, 2, ..., TV),
(22.28)
22] ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧ. СИЛ НА ОДНОЧАСТОТН. КОЛЕБАНИЯ 277
нений первого приближения:
2я N
ФК^Шф^ф-
da
dt
2 ига,
О г=1
N
_г=1___________
mi (“i + >)
COS'
г»
rfi Wl 1 2 иго
2п JV
(22.29)
О r= 1
N
_|----^^ дщ ф
* (toj -f v) ’
в которой, как и выше, Wj — собственная частота невозмущенной системы, <рг^(г=\, 2, ..., N) — нетривиальные решения системы однородных алгебраических уравнений (22.15), а
(?го} (а> ф) — Ж' (?11>а cos Ф> •••, — «р^1' аш! sin ф, ...)
(6 + & = ф) (г= 1, 2, ..., N).
Упростим несколько систему (22.29). Для этого по аналогии с § 15 введем обозначения:
2п N
Xe<I>(a)=:^ S 2 ?<?го(а, 4*)sinфогф,
1 0 r= 1
2 те N
(а) = ш, - 5 2?<?"o(«, Ф) <?гг> cos ф, с?ф,
(22.30)
0 г= 1
N
Еш = 2
Г=1
у
Тогда уравнения первого приближения (22.29) могут быть записаны в виде
_ »(i)
— --Ье
} (99 ЗП
(1)/ . , ?<1) . - I ^—,-ох;
—- = (0(/) (а) — 'Н---------;-;—: Sin -
dt ' }yixd (а)! v)
rfn /7г1>
da = _ S”> (а) а---------------------cos ¦
где Зё1’ (а) = —____^
2m!
Введенные здесь параметры Хё1' (а) и и^1’ (а) представляют собой оответственно эквивалентный коэффициент затухания и полную эквивалентную собственную частоту колебательной системы, описываемой уравнением вида
N
Г=1
аналогия с которым уже проводилась нами выше.
278 ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ [Гл. IV
Таким образом, и в этом частном случае уравнения первого приближения (можно показать то же самое и для уравнений высшего приближения), составленные при исследовании резонансного случая в системах с N степенями свободы, будут такими же, как и для системы с одной степенью свободы (с массой т1 и собственной часто-
N
той шх), находящейся под воздействием возмущающей силы 2
3 — 1
(обобщенной силы, действующей на первую нормальную координату)
N
и возмущающей синусоидальной силы с амплитудой 2 е-Ё’г?г1> (см. формулу (15.7)).
Остановимся на исследовании стационарных режимов колебаний с постоянными амплитудами и фазами.
Приравнивая правые части уравнений первого приближения (22.25) нулю, получим для определения стационарных значений амплитуды а и фазы & систему
Е<. 1)
(а) а-\--------—;—г cos О- = 0, ]
v ' 1 mi (iuj + v)
E(1) m^a («! + v)
E*> (22-32)
Исключая из этих уравнений находим с точностью до величин второго порядка малости зависимость между амплитудой а и частотой внешних сил м:
т\а2 [(соШ2 (а) - v2)2 + 4s‘i>* (а) г>] = Е^\ (22.33)
Полученное уравнение совпадает по своей структуре с уравнением (15.10), составленным для нелинейной системы с одной степенью свободы, и потому в нашем случае для составления уравнения (22.33) мьт можем воспользоваться .правилом, сформулированным в § 15. В нашем случае это правило будет заключаться в следующем.
Пусть колебания некоторой системы, имеющей N степеней свободы, описываются системой нелинейных дифференциальных уравнений типа (22.27), и пусть частота внешних сил v близка к основной собственной частоте невозмущенной системы со1. Требуется найти значения амплитуды и фазы стационарных одночастотных колебаний. Для этого рассматриваем колебательную систему с одной степенью свободы, с массой тх
N
и собственной частотой «)1, находящуюся под воздействием силы 2 ?<?г1>с?г1)
(обобщенной силы, действующей на первую нормальную координату). Линеаризируя эту систему, определяем эквивалентный декремент затухания о<‘> (а) и эквивалентную частоту собственных колебаний со^1' (а) как функции амплитуды и найденные значения подставляем в классические соотношения линейной теории вынужденных колебаний (22.32) и (22.33), причем амплитуда вынуждающей синусоидальной си-
N
лы находится по формуле = 2®-?’<1V1)> т- е- опять-таки она
г= 1 г
является обобщенной силой, действующей на первую нормальную координату.
§ 22] ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ ПЕРИОДИЧ. СИЛ НА ОДНОЧАСТОТН. КОЛЕБАНИЯ 279
Для определения стационарных значений фазы колебания из соотношений (22.32) получаем формулу
“I1' (а) — у
» = arctg—-г--— . (22.34)
При помощи соотношения (22.33) мы можем построить резонансную кривую, характеризующую резонансные колебания, возникающие в нашей системе со многими степенями свободы в результате воздействия внешней синусоидальной силы, частота которой близка к одной из собственных частот системы.
Для определения устойчивых и неустойчивых участков этой резонансной кривой мы получаем правила, аналогичные правилам, приведенным в § 15.
Так, условиями устойчивости (с точностью до величин первого порядка малости включительно) будут неравенства
I
< 0, если со*1) (а) < v. J
-^>0, если ш*1) (а) > v,
da dt
(22.35)
В качестве примера применения полученных результатов остановимся на исследовании вынужденных колебаний в конкретной механической системе со многими степенями свободы. _
