Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Перейдем теперь к построению решений для уравнений (21.5) во втором приближении.
Для этого рассмотрим вначале, с точностью до величин первого порядка малости, вынужденные колебания, которые возбуждались бы в невозмущенной системе (21.3) обобщенными силами
Qr (Яи •••>?*, Я1, ¦ • ¦, Яы) {г = 2- • ¦ ¦. N),
если бы в них cjlt ..., qNt qlt ..., qs были бы синусоидальные:
Яs = cos (<V + 6), qs = — tpf'ctOi sin («у + 6) (s = 1, 2, . . ., N). Заметим, что тогда
Qrtfi, ¦ ¦ Як, Яг, ¦¦¦, Ях, е) =
= sQ(r’ (<Й1,а cos ф, .. ., — ^’au), sin ф, . . .,) + 32 .. . (r= 1, 2, . . ., -V,
Разложим sQ?1 (у^'а cos ф, ..., — <Pi1,au>1 sin ф, ...) в ряд Фурье:
(fi’a cos ф, . .., - (p^’awj sin ф, .. .) = sfr0) (а) +
ОО
+ ® S {frk) (a) cos к (О\t + 6) + g<ft> (a) sin к (<V + 6)J h= 1
(r = 1, 2, . .., N),
266 ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ [Гл. IV
где
2п
f(rk> (а) = ^ Qrv ((p^'acos ф, — ф^аи)! sin ф, . ..) cos &ф <2ф,
о
2 ж
(а) = \ QF cos ф, .. ., — ф'^аи), sin ф, .. .) sin Ц йф
о
(г= 1, 2, к = О, 1, 2, ...).
Каждая из компонент этого рода с частотой кшг (к = 0,2,3 ...) в соответствии с (21.15) возбуждает вынужденное колебание
N
N 2 (а) C0S * (“l* + ®) + S'r') (а) sin * (ш1г + flJl'Pr ')
е V <p(3) _____________________________________________________
^—1 •* rrij (ю? — к2и>\)
j=l
(А =2, 3, ...),
N
N 2 /г°’ (*) ^
------5-----, А = 0
rs mjwf *
3=1 3
(s = l, 2........iV).
У гармоники с частотой о>1 учтем в сумме (21.10) только члены, соответствующие возбуждению высших нормальных координат:
N
N 2 W1' (а) cos (й)1г + 0) + ?г1> (а) sin («>,«+ 6} ср^> а У, 90) ________________________________________________
s пгу(а>| — а>1)
(s = l, 2........TV).
Таким образом, получаем «регуляризированное» вынужденное колебание, возбуждаемое в невозмущенной системе обобщенными силами
Qr (9i. • • •> Яю Яг, Яы, ®) (r= 1, 2, ..., iV), в которых qs, qs(s = 1..............iV)
синусоидальны, в следующем виде (с точностью до величин первого порядка малости включительно):
n 2 ^0) («) 'Рг ¦* ей'1’ (а, (V + 0) = в 2 № ' 1 ,0-4---+
5=1 1 5
N
^ 2 W1’ (в) cos К* + 0) + g"» (а) Sin (®,t + 0)} ср'5'»
д-sY ®<J> —-------------------------------5--------------------------------—-Ъ-
-Zj ‘ S m ¦ («)2-a)2) I
3=2 J
iV
CO N 2 ^ (<0 cos ft (»,* + 0) + g<ft) (a) Sin ft К* + 0)} ,<?>
+ 2 2 ^ m}(w? — ft2®?) (21.32)
fe=2 3=1 J
(S=l, 2, ..., N).
§ 21] СИСТЕМЫ, ОПИСЫВАЕМЫЕ ДИФ. УРАВНЕНИЯМИ 2-го ПОРЯДКА 267
Складывая эти выражения с первым приближением, получаем решения уравнений (21.5) во втором приближении:
qs = cos ф -j- еиз1’ (а, ф) (21.33)
(s = l, 2, ..., N).
Как и в предыдущем параграфе можно было бы добавить сюда члены типа е {С1 (a) cos ф 4- С2 (a) sin ф} ф.1’, содержащие две функции С1(а) и Съ (а). Но поскольку их выбор произволен, то для получения более простых формул положим С1 (а) = С2 (а) = 0 и будем в дальнейшем оперировать с выражениями (21.33).
Для того чтобы выражения (21.33) давали в действительности второе приближение, в них а и ф должны быть функциями времени, определяемыми из уравнений второго приближения:
= (a)4-eM2(a),
= а)г 4- еВ1 (а) 4- е2В2 (а).
Входящие сюда функции А2 (а) и В2(а) могут быть найдены с помощью подстановки второго приближения (21.33) в уравнения гармонического баланса (21.23). При этом дифференцирование по времени должно быть выполнено с учетом уравнений (21.34) так, чтобы производные по t не фигурировали под знаком интеграла, а интегрирование по ф должно совершаться, как если бы а было постоянным параметром
и все вычисления велись бы с точностью до величин второго порядка
малости включительно.
Заметим теперь, что в формулах (21.32) гармоники первого порядка cos ф и sin ф входят только в члены, пропорциональные <р'2>, $-3\ ...
.. ., «pw (/’=1,2, ..., N), и что имеют место соотношения:
2 «rs'p^rf’ = 0, 2 Crs'fr1'^3'* = О
г, s=l г, «=1
(/ = 2, 3, ..., N).
Поэтому выражения
2 (а, ф), 2 9^сгаи^(а, ф)
Г, 3=1 Г, S— 1
не содержат гармоник первого порядка.
Учитывая сделанные замечания, мы можем уравнения гармонического баланса (21.23) представить в следующем виде:
2я N
S {Wi ("S'+“J*) ~ 2 (й1>ж+е<’> • • •)+
о r=t
4-е2Qr2'(у^х, .. .)]| cos ф е?ф = О,
2, > (21-35>
О r= 1
4- e2(?J.2’ (у^х, . . . )] j- sin ф е?ф = О,
где, как и выше, ж = асозф*
(21.34)
(21-36)
268 ОДНОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ 1Гл. IV Поскольку выражение
состоит лишь из первой гармоники по отношению к ф, то уравнения
(21.35) эквивалентны уравнению, выражающему равенство выражения
(21.36) первой гармонике суммы:
Y (eQ?> (tf'x + su™, . . ,)+s'-QT (V?>x, ...)).
r= 1
Обозначим первую гармонику какой-либо периодической функции F (ф) через H1{F}:
2tz 2тс
Н1 {/?} = cos ф ^ F (ф) cos ф с?ф + sin ф ^ F (ф) sin ф йф.
о о
Тогда уравнение, эквивалентное выражениям (21.35), можем написать в следующем виде:
N
wi(SL+u,^)=^i{S tf1w,(?il,-*+<>. • ...)]}.
r=1
(21.37)
Разумеется, что это уравнение должно удовлетворяться лишь с точностью до величин второго порядка малости включительно, причем
