Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Если внутри замкнутой интегральной кривой имеется несколько особых точек, то число особых точек типа седла на единицу меньше числа особых точек остальных типов.
Понятие индекса дает возможность определить количество и местоположение предельных циклов для данного уравнения, т. е. выделить на фазовой плоскости некоторое число колец конечной ширины, в каждом из которых расположен только один предельный цикл.
Чзе^
j=+t
j=+1
Центр
j=+f Рис. 57.
Седло
J=~t
Для этого нужно выделить Несколько особых точек, сумма индексов которых равна + 1, и окружить их двумя замкнутыми кривыми так, чтобы в полученной кольцеобразной области не было особых точек.
После этого надо исследовать направление вектора скорости изображающей точки на этих кривых. В зависимости от направления этого вектора можно вывести заключение о наличии предельного цикла, а также
о его характере. Так, например, если вектор скорости изображающей точки направлен везде внутрь кольцеобразной области, то в данной ^области существует, по крайней мере, один устойчивый предельный цикл. Если вектор скорости везде направлен наружу, то существует, по крайней мере, ¦один неустойчивый предельный цикл и т. д.
Приведем в заключение изящный пример*), для которого легко определить предельный цикл аналитически.
*) И. Г. Петровский, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, Гостехиздат, М —Л., 1947.
МЕТОД ЛЬЕНАРА
133
Рассмотрим уравнение
dx
(х + у) У хг+уг — у
[х — у)Ухг+уг — х
Делая замену переменных a: = pcos<p, 2/ = psin<p, где р и <р-координаты, получим уравнение
^ = р-1
dtp Р '
общий интеграл которого будет:
Р = 1 + Се*,
(9.44) полярные
(9.45)
(9.46)
где С — произвольная постоянная. Чтсбы р было всегда положительным, необходимо, чтобы 9<ln|C| для С < 0. Семейство интегральных кривых в этом случае будет состоять из окружно-cjh радиуса р = 1 (для С = 0), спиралей, выходящих из начала координат и асимптотически приближающихся к окружности изнутри (навивающихся на окружность изнутри) при <р—> — со (для С < 0), и спиралей, асимптотически приближающихся к окружности снаружи (навивающихся на окружность снаружи) при 9—> —со (для С > 0). Окружность с радиусом р = 1 будет в данном случае являться предельным циклом уравнения (9.44) (рис. 58).
§ 10. Метод Льенара
Во многих важных частных случаях нелинейное дифференциальное уравнение
(9.2) удобно исследовать с помощью графического построения интегральных кривых на фазовой плсскссти. Очень изящным методом графического построения интегральных кривых является метод, предложенный французским инженером Льенаром [26]. Этот метод позволяет изучить все типы движения, допускаемые данным уравнением, и найти предельные циклы.
Льенар исследовал уравнение вида
(10.1)
К уравнению такого типа, как известно, принадлежит уравнение Ван-дер-Поля, а также может быть приведено уравнение Рэлея и др.
После работы Льенара вопрос об установлении критериев существования и единственности предельного цикла для уравнения типа (10.1) был предметом исследования ряда авторов. Упомянем, например, работы В. С. Иванова, Левинсона и Смита, А. В. Драгилева.
Приведем формулировку теоремы А. В. Драгилева. Введем обозначения:
Л. «V
F (х) = ^ / (х) dx, G(x)= ^ g (х) dx,
(10.2)
134 МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ [ГЛ. II
Тогда, если:
1) g(x) удовлетворяет условиям Липшица;
xg(x)> 0, х ф 0; G(00)=.'00;
2) F (х) однозначно определена в промежутке — оо < х < оо и для каждого конечного интервала удовлетворяет условиям Липшица и, кроме того, для достаточно малых \ х\ F (х) < 0 при х > 0 и F (х) > 0 при х < 0;
3) существуют число М и такие числа к и к', к' < к, что
F (х) > к, когда х > М,
F (х) < к', когда х < — М,
то уравнение (10.1) имеет, по крайней мере, один предельный цикл.
Как видно, здесь при весьма общих условиях устанавливается существование, по крайней мере, одного предельного цикла.
Вопросу о единственности предельного цикла посвящена теорема Левинсона и Смита:
Пусть
1. g (х) — нечетная функция, такая, что g(a:)>0 для х > 0.
2. F (ж) — нечетная функция, причем существует значение х0, такое, что F (х) < 0 для 0 < х < х0 и F(x)>0 и монотонно возрастает для ж>ж0.
3. F (оо) = G (оо) = оо.
4. / (ж) и g (х) удовлетворяют условиям Липшица на любом конечном интервале.
В таком случае уравнение (10.1) имеет предельный цикл, и притом единственный.
Мы не будем останавливаться здесь на доказательстве этих теорем *). Рассмотрим более простой случай, когда выполнены следующие ограничительные условия:
1. / (х) — функция четная, g (х) — нечетная и, кроме того, xg (х) > 0 для любых х, a f(0) <0.
2. / (х) и g (х) — функции аналитические.
3. F (х) —оо при х—>оо.
4. Уравнение F (ж) = 0 имеет единственный положительный корень х = а, и, кроме того, для ж>а функция F (х) монотонно возрастает.
Как нетрудно видеть, этим условиям удовлетворяет уравнение Ван-дер-Поля, а также уравнение Рэлея.
Покажем, что при их выполнении уравнение (10.1) обладает единственным замкнутым циклом, который будет устойчивым. Доказательство проведем с помощью весьма наглядного и элементарного способа, приведенного в книге С. Лефшеца [24]. Положим
