Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
118
МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ
[Гл. II
Так как в данном случае все фазовые траектории являются замкнутыми кривыми, эллипсами (за исключением траектории, выродившейся в точку х = 0, у = 0), то движение будет периодическим.
Особой точке х = 0, у= 0 соответствует состояние равновесия в рассматриваемой колебательной системе.
Совершенно ясно, что и в общем случае уравнений (9.1) состояниям равновесия системы соответствуют на фазовой плоскости точки, для ко-
С? Я*
торых одновременно ^=0, ^ = 0, т. е. особые точки уравнений (9.2).
Периодическим же движениям, происходящим в системе, на фазовой
плоскости соответствуют замкнутые фазовые траектории уравнения (9.2).
В дальнейшем нам придется пользоваться понятием устойчивости состояния равновесия.
Приведем здесь только определение, не вдаваясь в детали. Состояние равновесия является устойчивым, если при любой заданной области допустимых отклонений от состояния равновесия (область т]) мы можем указать область о(т]), окружающую состояние равновесия и об-рис 42 ладающую тем свойством, что ни одно
движение, начинающееся внутри о ('ц), никогда не покинет области rj (рис. 42). Аналитически это определение устойчивости может быть выражено следующим образом: состояние равновесия х = х0, у = у0 называется устойчивым, если для любого наперед заданного, сколь угодно малого ij можно найти такое о (tj), что если для t = t0
\х(^о)~хо I <s(7l). I У (1о) Уо I <30l). то и для любых t, таких, что t0 < t < со,
\x(t)-Xo|<TJ, \y{t)-y0\ < 7].
Нетрудно видеть, что состояние равновесия типа центра является устойчивым состоянием равновесия.
Пусть теперь h > 0, что соответствует затухающему колебательному процессу. В этом случае получаем согласно выражению (9.5) на фазовой плоскости семейство спиралей, для которых начало координат является
асимптотической точкой (рис. 43), причем чем меньше отношение ,
т. е. чем меньше трение, тем ближе в течение одного оборота спираль к эллипсу.
Фазовая скорость в данном случае нигде, за исключением начала координат, не обращается в нуль, но непрерывно уменьшается по мере приближения изображающей точки к началу координат.
Фазовые траектории соответствуют в данном случае осциллирующим, но затухающим движениям, а особая точка х = 0, у = 0 соответствует состоянию равновесия.
Рассматриваемая в данном случае особая точка, являющаяся асимптотической точкой всех интегральных кривых, имеющих вид спиралей, называется фокусом, причем при h^> 0 фокус будет устойчивым.
ТРАЕКТОРИИ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ. ОСОБЫЕ ТОЧКИ
119
Пусть теперь h < 0. В этом случае мы опять получаем семейство спиралей (рис. 44), однако фазовая точка с течением времени будет удаляться от начала координат. Скорость движения изображающей точки по интегральной кривой, обращаясь в нуль при х = 0, у = 0, монотонно возрастает по мере удаления точки от начала координат. В данном случае положение равновесия неустойчиво, и особая точка х — 0, у = 0 представляет собой неустойчивый фокус.
Рассмотрим теперь случай, когда /г2 > к, что соответствует при h > 0
затухающему апериодическому процессу. В этом случае решение системы
(9.4) можно представить в виде
+ С9е~°*1, (9.9)
У = - Cxqx е—91г - С2д2е~9*1, (9.10)
где обозначено:
¦fh--
¦h+Y № — к,
— q2 = —h — \ h2 — к.
(9.11)
Для получения картины на фазовой плоскости умножим выражение
(9.9) сначала на qx, затем на и сложим с (9.10). Возводя полученные результаты соответственно в степени qx и q2, находим:
(9.12)
или
y + qlX = C(y + q2x)9K (9.13)
На фазовой плоскости получаем семейство деформированных парабол (рис. 45), касающихся прямой у= ~q±x в начале координат. Нетрудно установить направление движения изображающей точки по интегральным кривым. Изображающая точка будет двигаться по интегральным к ривым
120
МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ
[Гл; II
в направлении, указанном на рис. 45 стрелками, т. е. всегда будет приближаться к началу координат.
Точка х=0, у—0 будет особой точкой, причем все интегральные кривые проходят через нее. Особая точка такого типа называется узлом. В рассматриваемом случае положение равновесия будет устойчивым, и этому положению соответствует устойчивый узел.
Рассмотрим теперь характер интегральных кривых на фазовой плоскости для случая большого отрицательного трения й<0, /г2>/с. В этом случае, воспользовавшись (9.13), получаем на фазовой плоскости семейство кривых параболического типа (рис. 46) с особой точкой тоже типа узла.
Однако, анализируя движение изображающей точки, легко убедиться, что изображающая то^ка при движении по любой из интегральных кривых стремится уйти от состояния равновесия (см. рис. 46, на котором направление движения указано стрелками). Таким образом, рассматриваемая особая точка представляет собой неустойчивый узел, причем, как и выше, неустойчивость обусловлена тем, что й< 0. Заметим, что неустойчивость очевидна непосредственно из рассмотрения выражений (9.9) и (9.10).
Для полноты изложения пр.иведем еще один тип фазовых траекторий, с которыми встретимся при дальнейшем изложении. Для этого рассмотрим дифференциальное уравнение
