Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим, например, уравнение
Для исследования характера точки равновесия х — 0, у = 0 получаем уравнения в вариациях
согласно которым точка равновесия х = 0, у = 0 устойчива, так как 6 с = 0, Aad = — 4 < 0.
Как видно, для уравнений (9.27) характер движения меняется, так
как наличие в уравнении (9.26) члена Х( J приведет к затуханию
колебаний или к неограниченному возрастанию, в зависимости от того, будет ли X положительна или отрицательна.
Приведем здесь теорему, являющуюся весьма частным случаем теоремы Ляпунова.
Пусть в уравнениях (9.20) Р2(х, у) и Q2(x, у) — функции, обладающие непрерывными частными производными до второго порядка включительно в некоторой окрестности точки х = 0, у — 0. Пусть в этой точке Р2(х, у) и Q2(x, у) со своими частными производными первого порядка обращаются в нуль.
Тогда, если для соответствующей системы «первого приближения»
(9.21) вещественные части корней характеристического уравнения (9.22) отрицательны, тривиальное решение х = 0, у = 0 системы (9.20) устойчиво по Ляпунову.
Больше того, все решения системы (9.20), исходящие из начальных точек, достаточно близких к (0, 0), будут асимптотически приближаться к тривиальному решению при t—>+со.
Доказательство этого утверждения весьма просто можно получить следующим путем.
(9.26)
которое можно записать в виде
(9.27)
(9.28)
Пусть
х — t/u (t), х = U12 (I),
(9.29)
124 МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ [Гл II
будут решениями уравнений первого приближения при начальных условиях:
t/n(0)=l, U21 (0) — О,
^12 (0) = 0, U22( 0) = 1.
Тогда нетрудно заметить, что уравнения вида
c^- = cx + dy + F1(t),
-jt = ax+by + F2(t)
интегрируются с помощью квадратур:
t
х = ии (0 X (0) + $ {C/u (t - х) рг (х) + uu (t - x) F2 (x)} dx,
0 ) t I
y = U22(t)y( 0)+ ^ {U21(t - x) F x(x) 4- U22(t — x)Fa(x)}efr.
Воспользовавшись этими формулами для уравн-ений (9.20), получим:
t
x(t)=Uu 00 я (0)+ ^ {^u(i-'')^2(;*:('')> 2/W)-f-
о
+ U12(t-x)Q2(x(t), у (i))} dx,
i
y{t) = U22(t)y (0)+ J {U2l(t-x)P2(x(x), у (x)) +
} (9.30)
+ U22 (t - x) Q2 {x (x), у (x))} dx.
Мы заменили тем самым систему дифференциальных уравнений (9.20) системой интегральных уравнений.
Подчеркнем, что ввиду того, что вещественные части корней характеристического уравнения (9.22), по предположению, отрицательны, функции Uab (t) будут экспоненциально затухать, так что можно написать:
|t/ab(0|<Ae-ai, (9.31)
где к и a — положительные постоянные.
Будем исследовать интегральные уравнения (9.30) с помощью обычного метода последовательных приближений.
Воспользовавшись оценкой (9.31), найдем, что при достаточно малых начальных значениях х(0), 2/(0):
1) | хп (t) | < Ce~at, | уп (t) | < Ce~at, С — постоянная, не зависящая от п.
2) хп (г), уп (t) сходятся к решениям х (t), у (t) равномерно для всех t на интервале (0, со).
Отсюда и вытекает, что x(t), y(t) будут стремиться к нулю при t —> -f- со.
Перейдем теперь к анализу характера критических точек на фазовой плоскости.
Для этого надо рассмотреть поведение характеристик в окрестности особой точки.
ТРАЕКТОРИИ НА'-фАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ. ОСОБЫЕ ТОЧКИ
125
Уравнение характеристик в параметрической форме дано выражениями (9.23), согласно которым не пре'дставляет затруднений построить интегральные кривые и проанализировать их характер в зависимости от соотношений между коэффициентами а, Ъ, с, d.
рассмотрим различные случаи.
Пусть (Ь — с)2 + iad < 0; в этом случае правые части выражений (9.23) имеют колебательный характер. Если Ь + с = 0, то в окрестности критической точки характеристиками является семейство подобных эллипсов, охватывающих особую точку, которая в данном случае будет особой точкой типа центра. Если Ъ + сФ 0, то характеристики представляют собой семейство спиралей, для которых асимптотической точкой является критическая точка типа фокуса, причем в случае, если Ь -f- с < 0, характеристики стремятся к началу координат при t—* со, и фокус будет являться устойчивой особой точкой; если Ъ + с > 0, то характеристики будут стремиться к началу координат при t—> — со; в этом случае фокус будет неустойчивой особой точкой.
Пусть (6 —с)2 + 4ас? '0. Тогда, исключая из выражений (9.23) время, получим уравнение характеристик на фазовой плоскости в окрестности коитической точки в виде
Последнее выражение, как уже указывалось выше, представляет собой уравнение-семейства парабол или семейства гипербол в зависимости
собой уравнение семейства парабол. Таким образом, если ad — bc<. 0, критическая точка является узлом, устойчивость которого зависит от знака выражения Ь + с.
уравнением семейства гипербол и критическая точка является особой Точкой типа седла.
Рассмотрим теперь случай, когда (6 — c)2 + iad = 0 и когда, следовательно, корни характеристического уравнения (9.22) равны и веще-
и уравнение характеристик у — сх представляет собой уравнение семейства прямых, проходящих через начало координат. Особая точка ж = 0, у = 0 в этом случае тоже называется узлом.
В общем же случае необходимо в уравнениях (9.21) сделать замену переменных согласно формулам:
