Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
где к положительно. Уравнение вида (9.14) получаем, рассматривая, например, малые отклонения маятника около верхнего положения неустойчивого равновесия.
Решение уравнения (9.14) будет:
При помощи этих соотношений не представляет затруднений построить фазовые траектории. Действительно, согласно (9.15) легко получить соотношение
У
У=-Чгх
Рис. 45.
Рис. 46.
(9.14)
х = С1еУ* + С&~ V* , у = С1 \fkeV* - С2 1Лев- У* .
(9.15)
_ -у1 = 1 С Ск
(9.16)
представляющее собой уравнение семейства гипербол (рис. 47). При С = 0 мы получаем две асимптоты этого семейства гипербол, проходящие
ТРАЕКТОРИИ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ, «СОБЫЕ ТОЧКИ
121
через начало координат:
у == У кх , х = — Укх
(9.17)
Начало координат является единственной особой точкой, причем, за исключением асимптот, ни одна интегральная кривая не проходит через-начало координат. Такая особая точка называется особой точкой типа седла.
Рассматривая направление движения у-^кх изображающей точки на фазовой плоскости, приходим к выводу, что гДе бы ни находилась, изображающая точка в начальный момент (за исключением начала координат и асимптоты у = —Укх),.. оца всегда, в конце концов, будет удаляться от начала координат, причем движение будет носить ацериодический характер, а не колебательный. Положение равновесия, соответствующее особой точке типа седла, всегда будет неустойчивым ввиду того, что движение по асимптоте у=
— — Укх не может быть никогда точно реализовано, так как вероятность начального состояния, соответствующего движению к особой точке, равна нулю.
Перейдем теперь к рассмотрению общего случая. Прежде всего займемся изучением точек равновесия —особых точек уравнения (9.2), в которых
Р{х,у) = 0, Q{x,y) = 0. (9.18)
Пусть Р (х, у) и Q (х, у) — вещественные аналитические функции. Предположим, что точки равновесия, т. е. решения уравнений (9.18), изолированы и, таким образом, число особых точек в любой ограниченной области конечно.
Тогда для анализа поведения динамической системы в окрестности данной особой точки х = хд, у — у0 положим
х — ха-\-Ьх, у = у0-\-Ьу. (9.19)
Не нарушая формы уравнений (9.1), можем принять особую точку х = х0, у = у0 за начало координат. Тогда, подставляя (9.19) в уравнения (9.1), получим:
^ = cx + dy + P2(x, у), d? = ax + by + Q2 (х, у),
У- -W X Vw\ и У-^К X //if,
А
jj)/ X 1 1 1 ^
ж
ш/
у// \
Рис. 47.
(9.20)
где для упрощения записи вариации Ьх, Ьу заменены через х и у и введены обозначения:
с = Рх (0, 0), d = Pi(0,0), а = <?'(0, 0), b = Q’ (0,0),
122
МЕТОД ФАЗОВОЙ плоскости
[Гл. II
а Р2(х,у) и Q2 (х, у) — функции, обладающие непрерывными частными производными до второго порядка включительно и обращающиеся в начале координат в нуль вместе со своими частными производными первого порядка.
Пренебрегая в уравнениях (9.20) членами высшего порядка по отношению к малым отклонениям от точки равновесия, получаем следующую систему с постоянными коэффициентами:
% = cx + dy, Ш^ах+Ъу,
(9.21)
которая, как известно, называется «уравнениями в вариациях» около точки равновесия.
Характеристическое уравнение системы (9.21) будет:
Х2_(Ь + С) X-(ed-6c) = 0. (9.22)
Будем рассматривать только случаи, когда характеристические корни Х1; Х2 не равны нулю и, следовательно, ad—ЪсФ 0. Соответствующие критические точки называются особыми точками первого порядка или элементарными точками.
Решение системы уравнений (9.21) будет: х= -\~С2ех&,
у = + С2хае^г,
де и Х2 определяются следующими выражениями:
*•1 = у + 0 + ~ с)2 + ^ad] ,
= с ~ c)2 + 4ad] ,
(9.23)
(9.24)
а и *2- корни уравнения
dt? + (b — с) % — а = 0. (9.25)
Анализируя правые части выражений (9.24), нетрудно установить, при каких соотношениях между коэффициентами уравнений (9.21) а, Ъ, с, d правые части (9.23) стремятся к нулю или остаются ограниченными при !-»оо и, следовательно, соответствующая критическая точка будет устойчивой.
Для того чтобы критическая точка была устойчива, необходимо, чтобы Ь + с<0 при (Ь — с)2 4aa?< 0; в случае, если (Ь — с)2 ч 4aa? > 0,
то для устойчивости необходимо также, чтобы ad — be < 0, в противном случае критическая точка будет неустойчива.
Если Ь-\~с = 0, то для устойчивости необходимо, чтобы (Ь — c)2-f 4- 4ad < 0.
В случае, если Ъ 4- с > 0, критическая точка будет всегда неустойчива.
Если ad—Ъсф 0, то характер критической точки уравнений (9.1) по существу определяется характером ее первого приближения (за исключением случая, когда Ь + с = 0), т. е. характером решения системы
(9.21), полученной при замене Р (х, у) и Q (x, у) их членами первого порядка.
ТРАЕКТОРИИ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ. ОСОБЫЕ ТОЧКИ
123
Совершенно очевидно, что присутствие отброшенных нами членов высшего порядка не изменит характера движения в окрестности точки равновесия в случае, если Re[Xx, Х2] ф 0, поскольку ясно, что отброшенные члены могут вызвать лишь малые добавки к «эффективным» значениям декремента затухания. В случае, если Re [XJ = 0 или Re [Х2] = О, то малые отброшенные члены могут повлиять на характер движения, поскольку его устойчивость как раз и будет определяться этими малыми добавками.
