Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.Н. -> "Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний" -> 39

Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.

Боголюбов Н.Н., Митрольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний — Физматлит, 1963. — 410 c.
Скачать (прямая ссылка): asimpoticheskiemetodi1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 138 >> Следующая

п ^ , а также при п > 0 и 1г > 0 колебания за*-
п < О, U > 0 и . , ^ .
1 rtiliЕ I 4
тухают.
Таким образом, медленное увеличение длины маятника, как и следовало ожидать, способствует затуханию колебаний. Если < 0, п > О п I 3 ! п 3 -
и Y~m- Т ’ то амплитуда возрастает, а при ^ > — —убывает.
При < О и п < 0 амплитуда возрастает. При отсутствии затухания (п = 0) амплитуда колебаний возрастает с уменьшением длины и убывает с увеличением длины.
Аналогичный анализ может быть проведен и для частоты колебаний. Так, например, при отсутствии затухания мгновенная частота уменьшается при увеличении длины маятника и увеличивается при уменьшении длины.
Подсчитаем для данного примера колебаний маятника с медленно меняющейся длиной второе приближение.
Соглаоно формулам (8.16), (8.9) и (8.17) после ряда выкладок имеем:
0 = a cos ф — ^ cos Зф, (8.37)
где а и ф должны быть определены из системы уравнений второго
СИСТЕМЫ С МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИМИСЯ ПАРАМЕТРАМИ
115
приближения:
da_
dt
S-w
И .
4/ (г) 1 ml
ш (т) а'
«(*) )(а + 1б) ’
1
+
16 si' (х)п
{
1 2(0 (t) \т2/2(т:)т 5=21" (-) 5шМт) а*
(8.38)
3s2/'2 (г)
}¦!
т/2(х)^ 4/ (-) 1 29-3 16/2(т)
которые тоже могут быть проинтегрированы до конца. Так, из первого уравнения системы (8.38) получаем следующее соотношение между а и ti
t
п (¦ ш
а = ао ~ш \ TW) (1Ш V *
/16-(~а2 /16 + а§ °
после чего можем проинтегрировать также и второе уравнение системы (8.38).
(8.39)
ГЛАВА II
МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ
§ 9. Траектории на фазовой плоскости, Особые точки
Излагавшиеся ранее асимптотические методы ограничены в‘своем применении требованием наличия в уравнении малого параметра. Однако во многих случаях нам приходится имрть дело с уравнениями более общего типа, к которым эти методы неприменимы.
Если уравнения, описывающие движение исследуемой динамической системы, могут быть приведены к виду
то для них можно применить качественные методы исследования. К уравнениям типа (9.1) сводятся все те уравнения, которые были рассмотрены ранее. Кроме того, как увидим далее, при исследовании колебательных систем слабо нелинейных, но находящихся под воздействием внешних периодических сил в качестве уравнений первого приближения получим также уравнения типа (9.1).
Для качественного исследования решений уравнений (9.1) целесообразно рассматривать х, у как координаты точки на плоскости. Эта плоскость, как известно, называется фазовой плоскостью, а точка х,у — фазовой точкой. Движение х = х (t), у = у (t) совершается по некоторой линии, которая называется фазовой траекторией. Построение фазювой траектории для данной системы означает построение кривой, выражающей для заданного движения зависимость скорости от смещения.
Фазовая плоскость с имеющимися на ней фазовыми траекториями дает возможность сразу увидеть всю совокупность движений, могущих возникнуть в рассматриваемой динамической системе.
Для построения фазовых траекторий необходимо найти решение системы уравнений (9.1) x = x(t), y — y(t). представляющее собой уравнение фазовой траектории в параметрической форме, либо найти характеристики, т. е. интегральные кривые уравнения
(9.1)
dy __ Q (ж, У)
dx Р (х, у) ’
(9.2)
дающие непосредственно зависимость между х и у. Остановимся сначала на простейших случаях. Рассмотрим уравнение линейного вибратора:
? + 2ft? + te-0.
(9.3)
9]
ТРАЕКТОРИИ НА ФАЗОВОЙ ?ЛРРК OCTJI ОСОБЫЕ ТОЧКИ
ш
Полагая
приводим уравнение (9.3)
!У>
dx
It' к виду
г--»»-
dx dt
кх.
(9.4)
Предположим, что трение невелико, т. е.* /г2 < Тс, к >‘0; тогда решение системы (9.4) запишется в виде
x = ae~ht cos ((«!< +а), 1
у = — №e~ht sin (м^ + а + &), I
где а>“ = & —Л2, & = arctg^-, а и «^произвольные постоянные, определяющиеся начальными значениями.
Выражения (9.5) представляют собой уравнения фаЗовой_трйектррии в параметрической форме. При их помощи не представляет Затруднений проанализировать характер движения фазовой точки на фазовор плоскости.
Заметим, что система (9.4) определяет в'каждой точке,фазовой плоскости единственную касательную к интегральной кривой, за исключением точки х = 0, у = 0. Наклон касательной определяётсЯ' выражением
dy _ —2hy — kx д g.
dx у '
В точкё х = 0, у = Ь направление касательной становится'нёопредв-ленным. Такие точки носят название критических или особых точ&к. Для простейших особых точек (особых точек первого порядка, или элементарных точек) через!особую точку либо не проходит ни одной, либо проходит больше чем одна интегральная кривая.
Допустим сначала, что h — 0.
Тогда решения (9.5) принимают вид
х = a cos (<ot 4 °0> у = — аш sin ((ot 4 <*).
(9.7)
Ha фазовой плоскости получаем семейство подобных эллипсов (рис. 41), причем через каждую точку фазовой плоскости проходит только один эллипс, соответствующий определенным начальным условиям.
Исключая из выражений (9.7) время t, получаем уравнение семейства эллипсов в виде
4+^ = 1. (9.8)
а* а* (о*
которое мы могли бы также получить, интегрируя непосредственно уравнение (9.6) при h = 0.
Через начало координат не проходит ни одной интегральной кривой. Такая особая точка, вблизи которой интегральные кривые замкнуты и охватывают особую точку, называется центром.
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed