Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.Н. -> "Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний" -> 44

Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.

Боголюбов Н.Н., Митрольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний — Физматлит, 1963. — 410 c.
Скачать (прямая ссылка): asimpoticheskiemetodi1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 138 >> Следующая

В случае, если циклы образуют дискретное семейство, то они заключены в полосы, причем все интегральные кривые, заключенные в такой полосе, асимптотически стремятся к циклу, являющемуся в данном случае предельным. Если приближение к данному циклу совершается при t—>оо,мы говорим об устойчивом предельном цикле. Если это приближение имеет место при t—+—оо, то естественно говорить о неустойчивом цикле.-
Такая картина характерна для автоколебательных систем. Предель-вые устойчивые циклы изображают стационарные режимы автоколебаний, причем совершенно очевидна независимость стационарного режима в автоколебательной системе от начальных условий, лежащих в известных пределах. Разумеется, в случае наличия нескольких предельных циклов при существенном изменении начальных значений возможна переброска с одного предельного цикла на другой.
130
МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ
[Гл. II
Приведенная картина поведения траекторий на фазовой плоскости очень наглядна, однако она с большим трудом поддается детализации при решении конкретных примеров.
До сих пор не существует достаточно общих теоретических методов для решения вопроса о существовании предельных циклов и определения места их расположения, за исключением случая систем, близких к линейным (з<1).
При исследовании задач такого рода часто большое значение имеет понятие индекса, введенное Пуанкаре.
Возьмем на рассматриваемой фазовой плоскости некоторую замкнутую кривую Г, причем предположим, что эта кривая простая (т. е. не имеет двойных точек) и не проходит через состояния равновесия. Возьмем на
этой кривой некоторую точку S и проведем через нее вектор, совпадающий с направлением касательной к проходящей через эту точку фазовой траектории.
Пусть непрерывная функция б (t) определяет угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси Ох.
Если точка S сделает полный оборот по замкнутой кривой Г и вернется на прежнее место, то вектор совершит за этот период некоторое число оборотов и, следовательно, б (t) изменится на величину 2тс/, где / — положительное или отрицательное целое число (рис. 55). Число / называется индексом замкнутого контура Г.
Очевидно, что число / может быть выражено криволинейным интегралом:
;§d (arcts2) = • (9Л1)
г г
Этот криволинейный интеграл берется от полного дифференциала; следовательно, если внутри области, охватываемой кривой Г, подынтегральная функция и ее производные непрерывны, то интеграл равен нулю.
Совершенно ясно, что такие свойства непрерывности могут нарушаться лишь в точках, для которых
рз + Q 2=0,
т. е. в особых точках нашего уравнения.
Поэтому, если внутри кривой Г особых точек не содержится, то ее индекс равен нулю.
В общем случае, когда внутри Г имеется ряд особых точек, проведем построение, изображенное на рис. 56.
ТРАЕКТОРИИ НА ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ. ОСОБЫЕ ТОЧКИ
131
В этом случае сумма интегралов (9.41), взятых по кривой Г и кривым 1\, Г2, Г8, .,. , окружающим особые точки, равна нулю, поскольку в соответствующей многосвязной области, ограниченной кривыми Г, 1\, Г2, Г3, . . . , особых точек уже не содержится.
Поскольку кривым Гх, Г2, Г3, ... мы приписываем обход, противоположный принятому в определении индекса, видим, что индекс кривой Г является суммой чисел, зависящих лишь от свойств соответствующей особой точки.
Эти числа и называются индексами особых точек. По данному определению, индекс какой-либо особой точки равняется интегралу
1 Г PdQ — QdP
2л $ Р2 + <22_ ’ г
взятому по кривой Г, окружающей лишь одну данную точку М, и не зависящему от формы Г.
Для фактического определения индекса можно, следовательно, взять в качестве Г эллипс
(ах + by)2 + (сх + dy)2 = 1, (9.42)
сколь угодно близкий к точке равновесия. Здесь, как видно, мы поместили начало координат в рассматриваемую особую точку.
Тогда, пренебрегая в выражениях для Р (х, у) и Q (х, у) членами
высшего порядка малости, получим:
i = ^^{xdy-ydx), (9.43)
где
q — be — ad,
или, в силу известного выражения для площади через криволинейный интеграл,
с 71
где о = у™ — площадь эллипса и, следовательно,
Отсюда сразу следует, что индекс Пуанкаре для узла, фокуса и центра равен +1, а для седла — 1. Эти же результаты можно было бы получить, исходя из непосредственного рассмотрения картины на фазовой плоскости (рис. 57).
Следует подчеркнуть, что даже если мы знаем характер и местоположение особых точек, то этого еще совершенно недостаточно для общего суждения о поведении интегральных кривых дифференциального уравнения (9.2). Однако для ряда частных случаев можно прийти к важным заключениям.
Рассмотрим, например, некоторую замкнутую интегральную кривую, определяемую уравнением (9.2), без двойных точек и особых точек.
Так как вектор, касательный к такой кривой, при полном обходе кривой в положительном направлении поворачивается на угол 2тс, то, следовательно, сумма индексов всех особых точек, находящихся внутри замкнутой интегральной кривой, равна 1.
132
МЕТОД ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ
[Гл. II
Таким образом, очевидно, что внутри замкнутой интегральной ^кривой должна находиться, по крайней мере, сдиа особая точка, причем если эта точка одна, то это центр, фокус или узел.
Предыдущая << 1 .. 38 39 40 41 42 43 < 44 > 45 46 47 48 49 50 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed