Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
эквивалентной сипы (7.26) и основной гармоники нелинейной силы
(7.27), получаем два уравнения, которые дают для параметров к1(а) и \ (а) как раз те значения, что и формулы (7.12).
В самом деле, в раскрытом виде при гармоническом колебании эквивалентная линейная сила будет:
— кг (a) a cos (о>г -f--(-«jXe (а) a sin (u>? -f- ft), (7.28)
а основная гармоника нелинейной силы:
27t
^ / (a cos ф, — aw sin ф) cos ф йф! cos (о>г -J- ч>) -f-
о
2тс
+ ^ / (a cos ф, — аи)8шф)8шфйф| sin (шг-(-&)8 (7.29)
о
Приравнивая друг другу обе гармоники (7.28) и (7.29), получим (практически проще приравнивать не амплитуды и фазы, а соответственно коэффициенты при синусах и косинусах в выражениях первых гармоник):
2тс ч
1 Г I
акг (а) = — \ / (a cos ф, — am sin ф) cos ф йф, j
2. ° > (7-30)
u)Xe (а) а = 4 ^ f (а совф, — аш sin ф) sin ф йф, I
71 о )
откуда для кг (а) и \ (а) получаем те же самые значения, что и по формулам (7.12).
Этот последний прием будем называть принципом гармонического баланса.
Нетрудно установить, что принципы энергетического и гармонического баланса по существу вполне эквивалентны. Для этого необходимо заметить, что выражения мощностей
т т
(t)x'(t)dt, F(t)x’ (jt — ~^)dt,
о 0
развиваемых некоторой периодической ^c периодом T = силой F (t) при гармонических колебаниях
х = a cos (шг + д),
зависят лишь от основной гармоники F (t).
Таким образом, если основные гармоники (гармоники с частотой о>) данных сил равны, то мощности, развиваемые ими при гармонических колебаниях (частоты «>), также равны, и наоборот.
Этим обстоятельством и обусловлена существенная эквивалентность обоих вышеизложенных способов определения параметров эквивалентной линейной системы в методе линеаризации (принципа гармонического баланса и принципа энергетического баланса).
Заметим теперь, что нет никакой необходимости сначала составлять дифференциальное уравнение колебаний и лишь затем линеаризовать входящие в него нелинейные выражения.
Во многих случаях, особенно для более или менее сложных колебательных систем, может представиться, наоборот, более удобным до
7]
ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
101
составления дифференциального уравнения, исходя непосредственно из рассмотрения схемы колебательной системы, заменить в ней нелинейные элементы эквивалентными линейными (например, при помощи принципа гармонического баланса), а затем находить выражения для частоты ше (а) и декремента ое(а), исходя из общеизвестных классических формул теории линейных колебаний.
Основным условием допустимости такого рода метода эквивалентной линеаризации является, очевидно, приближенная гармоничность колебаний.
В качестве примера рассмотрим тело массы т, подвешенное на пружине и совершающее приближенно гармонические колебания (рис. 37). Пусть зависимость между упругой силой пружины F и растяжением ее х нелинейна и выражается следующим соотношением:
F = f (х).
Тогда для гармонических колебаний х = a cos (<ot + 0) основная гармоника силы упругости будет:
COS (ait + 0)
(7-31)
^ /(аcos f) cos<j>df.
Рис. 37.
Пользуясь изложенным выше принципом гармонического баланса, можно заменить реальную нелинейную пружину эквивалентной линейной с коэффициентом упругости
2к
^ f(aC0S?)C0S?d?> (7-32)
0
после чего согласно известным формулам находим частоту линеаризированной системы
Ш8Ш
ке (а)
(7.33)
Если рассматриваемую колебательную систему, состоящую из тела массы т и нелинейной пружины, подвесить на линейной пружине с коэффициентом упругости с (рис. 38), то, предполагая, что колебания будут приближенно гармоническими (с достаточно велико), получим согласно принципу гармонического баланса для частоты колебаний следующую формулу:
Рис. 38.
,(«)=
-к (а)
или с точностью до величин первого порядка малости
(7.34)
(7.35)
Предположим теперь, что наша колебательная система испытывает при своих колебаниях некоторое слабое амортизирующее воздействие нелинейного типа и зависящее только от скорости:
Ф-Ф(§). (7.36)
102
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ
[Гл. I
Тогда, предполагая, что колебания по форме будут оставаться близкими к гармоническим, для основной гармоники амортизирующей силы получим выражение
2я
sin (шг + 0)
^ Ф (— aw sin<j>) sin
На основании принципа гармонического баланса эту реальную силу можно заменить эквивалентной линейной амортизирующей силой
Фе = М«)|,
где коэффициент трения выражается следующей формулой:
2тс
®(-au>sin?)sin9cty,
(7.37)
после чего согласно известным формулам находим выражение для декремента затухания
?
II
_L
R JL VWV—n
о
L О с*
(7.38)
Z
о , о ?дО О
Заметим, что наличие трения при принятой нами степени точности не окажет влияния на частоту колебаний, так как
(^е (аУ\ является величиной второго порядку cm J ка малости.
В качестве второго примера рассмотрим электронный генератор, составленный согласно схеме, приведенной на рис. 39. Пусть сопротивление R, включенное последовательно, достаточно мало и, следовательно, колебательный контур, помещенный в этой схеме в цепи сетки, является слабозатухающим.
