Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 39.
Обозначая ток в колебательном контуре г, имеем:
L^ + Ri + -I- ^ idt =
М
dig dt '
(7.39)
где ia — анодный ток, зависящий от управляющего напряжения Е (при отсутствии сеточного тока):
ia = f(E). (7.40)
Управляющее напряжение в электронном генераторе слагается из постоянного напряжения Е0 и переменного управляющего напряжения е, индуцируемого колебательным контуром.
Таким образом, зависимость анодного тока от переменной слагающей управляющего напряжения будет:
ia = f(Eo + e)-Если е изменяется по закону
е = a cos (wt + 6),
(7.41)
§ 7] ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
103
то основная гармоника анодного тока будет:
2к
cos (<»г + 0)
^ / (Е0 + a cos <р) cos <р d<p, 'о
и поэтому на основании принципа гармонического баланса можем заме нить нелинейную зависимость (7.41) эквивалентной линейной
ia = Se, (7.42)
где параметр S — «средняя крутизна характеристики лампы» — имеет вид
2тс
S (а) = ^ ^ / (Е0 -f- a cos <р) cos <р dy, (7.43)
о
После этого уравнения (7.39) можно представить в виде
ь%+т+Ь(7.44) С другой стороны, исходя из схемы рис. 39, можно написать:
В случае, если проницаемость лампы очень мала. т. е. D близко к нулю, можно принять:
e = ^-^idt. (7-45)
Подставляя (7.45) в уравнение (7.44), получаем:
LC^ + iRC-MS)%+e = 0,
откуда согласно обычным формулам находим выражения для собственной частоты и декремента затухания:
1
Y LC'
)
, ,_ч RC-MS(a) ,
5«(а)= ----2LC---• J,
На этих простых примерах нами показан способ применения метода линеаризации непосредственно к самой схеме данной колебательной системы. При этом очевидно, что нелинейные элементы системы линеаризуются независимо от прочих параметров системы, роль которых при линеаризации сводится лишь к обеспечению приближенной гармоничности колебаний.
Подчеркнем еще раз тот факт, что эквивалентные линейные элементы существенно отличаются от истинных линейных тем, что их параметры — эквивалентные коэффициенты — являются не постоянными, а некоторыми определенными функциями амплитуды колебания.
Преимущество метода эквивалентной линеаризации при эффективном построении уравнений первого приближения особенно выясняется в случае сложных колебательных систем, для которых даже самое образование основных дифференциальных уравнений колебательного процесса, не говоря уже об операциях над ними, может представить затруднения.
104 КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ |Гл. I
В качестве применения метода эквивалентной линеаризации к системам со многими степенями свободы*) рассмотрим колебательный контур, который схематически изображен на рис. 40 и состоит из линейной части
с комплексным сопротивлением Z (йо) и нелинейного элемента с характеристикой напряжение — ток:
V = /(/).
¦AAA/W
Тогда соответствующее дифференциальное урав-Z(l0JJ нение будет:
Рис. 4°. Z(p)I = f(I), р=~- (7.47)
Предположил!, что параметры системы таковы, что в ней возбуждаются периодические колебания, близкие к гармоническим:
I % a cos (u)t -f <]>). (7-48)
Тогда можем воспользоваться методом эквивалентной линеаризации и заменить в первом приближении нелинейный элемент линейным с характеристикой
V = SI,
где
2те
S (а) = — ^ / (a cos <]>) cos <J> d<]>.
о
Для стационарных колебаний найдем тогда уравнение вида
Z (ко) = S (а),
откуда, разделяя вещественную и мнимую части комплексного сопротивления
Z («о) = ^(ю) + iY (to),
получим:
X(a>)=S(a),
г w = 0. J (7-49)
Одно из полученных уравнений служит для определения частоты, другое —для определения амплитуды колебания.
Метод эквивалентной линеаризации можно уточнить таким образом. чтобы получить не только уравнения первого, но и высших приближений.
Построим уравнения второго приближения. Для этого уточним формулу (7.48), включив в нее высшие гармоники и постоянный член.
В первом приближении напряжение на нелинейном элементе будет:
V = f (a cosft), {} = to? -j- ф. (7.50)
Разложив это выражение в ряд Фурье, получим:
V = 2 /„ (a) cos/г»,
(п#г 0)
*) Подобные методы могут быть применены для исследования систем более общего типа; см., например, Е. П. Попов, О малом параметре в методе гармонической линеаризации, Известия АН СССР, Отд. техн. наук, № 1 (1955).
§7] ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 105
где, как и обычно:
2п
= cos d9'>
О
2те
fn (а) = — ^ / (а COS г}) cos п9 fifth и
Заметим теперь, что гармоническая слагающая напряжения fn (a) cos (ruot -f иф) (п = 0, 2, 3, ...)
вызывает в линейном элементе ток
Z-1 (р) fn (a) cos (mot -f иф).
Введем абсолютное значение и фазу комплексного сопротивления
Z(iQ) = R(Q)ei’tW.
Тогда
Z_1 (/?) in (а)cos (ии,г + иФ) = cos (го°г + — ? (И10))-
Таким образом, уточненный вариант формулы (7.48) будет:
/«acosft-f- ^ (7-51^
(п=0, 2, 3, ...)
Отсюда, между прочим, сразу вытекает критерий применимости излагаемого метода. Нам необходимо, чтобы член a cos 9 был основным, а остальные лишь поправочными. Поэтому для применимости метода требуется, чтобы
fn (а)
R (то)
(п = 0, 2, 3, ...).
Воспользуемся выражением (7.51) для уточнения формулы (7.50). Имеем:
