Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.Н. -> "Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний" -> 38

Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.

Боголюбов Н.Н., Митрольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний — Физматлит, 1963. — 410 c.
Скачать (прямая ссылка): asimpoticheskiemetodi1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 138 >> Следующая

Заметим, что для составления как уравнений первого приближения (8.12), так и второго приближения (8.17) нет необходимости пользоваться формулами (8.10) или (8.15). Мы можем для составления этих уравнений, так же как и в случае уравнения (1.1), воспользоваться непосредственно уравнениями гармонического баланса, которые в нашем случае имеют вид
T~r UJ, ил
Подставляя в подынтегральные выражения значения хч ,
найденные из (8.2) с точностью до величин первого порядка малости, с учетом, разумеется, того, что а и ф являются функциями времени, удовлетворяющими уравнениям (8.3), и производя интегрирование, получим для ^41('с, а) и а) выражения (8.10). Учитывая при под-
dx d^x
становке х, также величины, пропорциональные е2, получим
для А2(х, а) и B2(i, а) выражения (8.15).
Заметим, что при вычислении интегралов (8.18) т, как и а, считаем некоторым постоянным параметром и интегрирование ведем только по ф.
Рассмотрим еще некоторые частные случаи уравнения (8.1), для которых уравнения первого приближения (8.12) принимают совсем простую .форму.
о
(8.18)
о
dx d2x
112
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ
ИГл. I
Допустим, что в исследуемой колебательной системе отсутствует трение, и уравнение, описывающее движение, имеет следующий вид:
i +c(t)® = e/('c, х). (8.19)
В этом случае уравнениями первого приближения будут:
da еa d [т (z) ю (т)]
dt 2т (т) а) (т) d-z
2п
?-«>¦
2ят (х) ш (¦:) а
^ f0(x, а, <]>) COS ф^ф.
(8.20)
Система уравнений (8.20) может быть проинтегрирована до конца. Действительно, из первого уравнения находим:
й{\
[m (t) m (*)]*/* ’
(8.21)
где а0 — начальное значение амплитуды при 2 = 0. Подставляя найденное значение амплитуды во второе уравнение системы (8.20), получил!:
<
ф = ^ toe (х) dt,
(8.22)
где
о>
2тс
, (х) = а» (х) -
2я [т (х) (о (х)]1/2а0
С¦г' I \а° I \1д/2 ’ О tos ф (8-23)
J V \т (т) а) (х)] '2 у
Таким образом, в первом приближении колебания, описываемые уравнением (8.19), будут «синусоидальными» с амплитудой, обратно пропорциональной у т (х) to (х), и фазой, изменяющейся согласно формуле (8.22).
В качестве второго частного случая рассмотрим систему с медленно меняющейся массой иг(х), находящуюся под воздействием линейной упругой силы к(х)х с медленно меняющимся коэффициентом упругости и нелинейного трения, зависящего от скорости и «медленного» времени. Колебания этой системы описываются уравнением
Ть[т^ъ] +kMx = zf^’Tt') • (8-24)
В этом случае уравнения первого приближения принимают следующий вид:
da
dt
d[m (z) «.(,)!
2n
2m (x) ю (x)
dz
^ f0 (x, а, ф) sin * db,
d<\> , ч
= w (x). dt v '
(8.25)
Из второго уравнения сразу находим закон изменения полной фазы колебания
<
ф = ^ to (х) dt, (8.26)
S 8]
СИСТЕМЫ С МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИМИСЯ ПАРАМЕТРАМИ
ИЗ
Из системы (8.25) следует, что частота колебания, описываемого уравнением (8.24), в первом приближении не зависит от амплитуды, а зависит только от характера медленного изменения коэффициентов т (г) и к (т).
В качестве примера рассмотрим колебания математического маятника постоянной массы (в случае переменной массы дополнительных затруднений не возникает) при наличии малого затухания, пропорционального первой степени скорости, и медленного изменения длины. К подобной схеме приводятся многочисленные задачи практики. Обозначая 0 угол отклонения маятника от вертикального положения, g — ускорение силы тяжести, т массу маятника, I = I (т) — медленно изменяющуюся длину, 2п — коэффициент трения, получим дифференциальное уравнение
Для небольших отклонений мы можем sin 0 заменить первыми двумя членами разложения в степенной ряд, после чего уравнение (8.27) можно записать след>ющим образом:
где а и ф должны быть определены из системы уравнений первого приближения:
Интегрируя первое уравнение системы (8.31) при начальных значениях 2 = 0, а = ад, получаем выражение для а:
Подставляя это значение а во второе уравнение системы (8.31), найдем:
4 [It ] + 2ni I7 (х) + т8кЬ) sin 6 = (8-27)
(8.28)
в котором
(8.29)
В первом приближении согласно (8.11) и (8.12) имеем:
0 = a cos ф,
(8.30)
(8.31)
dt
(8.32)
114
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ
[Гл. I
Формулы (8.32) и (8.33) дают возможность построить график зависимости амплитуды и фазы от времени при медленном изменении длины маятника по произвольному закону.
Если в этих формулах положить 1 = const, то получим:
Ф=“^+-—)+?¦
(8.34)
ч 2 п v
где л = —I* 9— начальное значение фазы.
Последние формулы совпадают с ранее найденными выражениями
(2.44).
Допустим теперь, что длина маятника изменяется по линейному закону I (т) = l0 -j- 1±х; 1д — значение длины при t = 0, — скорость изме-
нения длины маятника (для малого интервала времени всегда можно предположить с достаточной степенью точности, что длина изменяется по линейному закону). В этом случае для амплитуды и фазы имеем выражения:
<8'35)
t _______ 3 2п
f = 5 Vth [1 - И (т^ттт)2 ““ ] <8-36>
о
Согласно формуле (8.35) амплитуда колебаний при медленном изменении длины маятника будет изменяться не по экспоненциальному закону, как при обычном линейном трении, а обратно пропорционально некоторой степенной функции времени. При этом очевидно, что при
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed