Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.Н. -> "Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний" -> 37

Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.

Боголюбов Н.Н., Митрольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний — Физматлит, 1963. — 410 c.
Скачать (прямая ссылка): asimpoticheskiemetodi1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 138 >> Следующая

(8.4). Для этого дифференцируем правую часть выражения (8.2) с учетом уравнений (8.3) и подставляем в уравнение (8.1), правую часть которого раскладываем в ряд Тейлора. Приравнивая после этого коэффициенты при одинаковых степенях е, получаем следующие уравнения:
х = a cos ф 4- 8н1 (х, а, ф) -f ггн2 (х, а, ф) + ...,
(8.2)
(8.3)
частота рассматриваемой колебатель-
[|ip-+u,2(T)Hi J =fo('!> а< Ф) + 2пг(х)а)(х)^1зтф4-
+ 2т (г) to (х) Вг cos ф +
/i Сь а> ф) + га(ч:) [ 2ю (х) аВ.
\ (х, а, ф) + т (х) [ 2ю (х) аВ2 — ^Ах + аВ\
дА1 dm. (-с) Ах dv dv т (и)
'*) Ai 1 I ,
— —гг cos ф
т (и) J Т 1
4-т(х) [2со(х)Л + 2Л^ + «^Л + а^Ч
] sinф, (8.6)
8]
СИСТЕМЫ С МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИМИСЯ ПАРАМЕТРАМИ где введены обозначения:
/о(х> а> Ф) =/(^. а совф, — au>siii<!>),
/] (х, а, ф) = /х (т:, a cos ф, — т sin ф) их +
+ fx' {1, л cos ф, — a<o sin ф) ? Ах cos ф — аВ1 sin ф + со (х) J
- т (т> [2 ш:м+2 ^<о W+2 wш Ь) Bi+
109
(8.7)
. ди1 dю (т) ди1 ю (z) dm (z)
дф dz дф т (z) dx
]. (8.8)
Далее, из уравнения (8.5), учитывая условия отсутствия первой гармоники в функции и1 (х, а, ф), находим:
. , 2тс
л «гпф с
а, ф) = 22 ) /о^. а, ф)е-*"**/ф. (8.9)
пф± 1
Но условие отсутствия первой гармоники в (8.9) дает нам следующие выражения для ^(х, а) и ^(х, а):
л (. п\ _______________a d [т (z) (О (-)]
2т(т)ю(т) dt
2те
^ /о(". а. ф) sin ф^ф,
В1(-,,а) =
2ът (т) ю (т)
2ят (т) со (х) а
2п
^ fo(r> а> ф) cos ф с^ф.
(8.10)
Таким образом, в первом приближении асимптотическое решение уравнения (8.1) следует искать в форме
ж=асо8ф, (8.11)
где а и ф должны быть определены из уравнений первого приближения:
da
dt
dt
ea d [m (г) со (т)]
2m (t) ю (и) dz
2тс
2am (г) о) (
(8.12)
2тс
= со(х)-
2кт (т) со (i) а
Заметим, что по аналогии с § 7 уравнения первого приближения
(8.12) можно записать в виде:
da
dt
ea d [m (г) со (т)]
2т (т) о> (-) dz
¦% (х, а) а,
dt ~(°е а)’
(8.13)
ГД° 'Je(z> а) и <0е (х> а) являются соответственно эквивалентным декрементом зат}хания и эквивалентной частотой, причем они отличаются
110
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ
1Гл. I
от приведенных в § 7 аналогичных выражений только наличием «медленного» времени и определяются выражениями:
2тс ^
ов(т:, а) =
2%т (?) (и (т) а
^ /о(х» а> Ф) sin ф с/ф,
2я I
!(т, а) = со2 (т) - дтЕ(т) а /0(х, а, ф) cos ф с?ф.
(8.14)
J
Для построения второго приближения необходимо найти из условия отсутствия первой гармоники в функции и2 (х, а, ф) выражения для А2 (х, а) и В2 (х, а).
Исходя из уравнения (8.6), имеем:
2тс
1 Г ,
a dm (х)
В
.]
2-кт (-) да (т)
т (х) eft.
^ fi ('с> а, ф) Sin ф с/ф,
ЯгС5» а)— 2а> (т) а [ Эа1^1^ ft;1 аВ*'
m (т)
1 dm (т) . dx
]
(8.15)
1
2 тс
2лт (г) а) (т)
- ^ /i (х, а, ф) cos ф t/ф,
и следовательно, асимптотическое решение уравнения (8.1) во втором приближении будет:
х = acosф + sh1 (t, а, ф), (8.16)
где а и ф должны быть определены из уравнений второго приближения: g = e^1(x,a) + eMa(x,a),
а!ф ~dt
(и) -г еВ1 (х, а) + г2?а (t, a).
(8.17)
Здесь ^(т, а) и В1(х, а) определяются выражениями (8.10), А2(х,а} и В2(т, а) — выражениями (8.15), а и1(х, а, ф) —согласно формуле (8.9). Заметим, что во всех полученных формулах при интегрировании по ф ечитаем а и т постоянными параметрами.
Сопоставляя полученные выражения для первого и второго приближения с результатами § 1, убеждаемся, что общая схема построения решений для случая колебательной системы, описываемой уравнением
(8.1), будет такая же, как и в случае системы, рассматривавшейся в § 1. Полученные нами уравнения первого приближения отличаются от уравнений (1.24) наличием «медленного» времени и дополнительного слагаемого
еa d [т (г) о) (г)]
2т (г) а>(х) dx
Таким образом, в первом приближении медленная изменяемость массы и коэффициента упругости, кроме нарушения гармоничности колебаний, вводит дополнительные «силы трения», знак которых будет зависеть от того, каким образом изменяются параметры исследуемой колебательной системы.
5 8]
СИСТЕМЫ С МЕДЛЕННО МЕНЯЮЩИМИСЯ ПАРАМЕТРАМИ
111
Остановимся еще на следующем обстоятельстве. При построении асимптотических приближенных решений мы сводим интегрирование одного уравнения второго порядка (8.1) к интегрированию двух уравнений первого порядка (8.12) или (8.17), которые во многих случаях не могут быть проинтегрированы в элементарных функциях, и поэтому их решения приходится искать при помощи численных методов.
Используя численные методы, можно было бы проинтегрировать непосредственно уравнение (8.1), однако это сложная задача, требующая чрезвычайно много времени и в большинстве случаев трудно выполнимая в связи с возможностью накопления большой систематической ошибки. Численное же интегрирование уравнений первого (или второго) приближения не представляет затруднений ввиду того, что в этих уравнениях переменными являются амплитуда и фаза, а не сама осциллирующая функция х. Для получения полной картины процесса здесь достаточно вычислить небольшое количество точек, расположенных на сравнительно «гладкой» кривой, что существенно упрощает численное интегрирование, в то время как при интегрировании непосредственно уравнения (8.1) нам пришлось бы находить не огибающую, а непосредственно синусоиду.
Предыдущая << 1 .. 31 32 33 34 35 36 < 37 > 38 39 40 41 42 43 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed