Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
где а —некоторая, пока не определенная постоянная.
Подставив значения 20(ф) и ш0(6.35) в правую часть второго уравнения системы (6.34) и учитывая (1.16), имеем
Чтобы это уравнение имело относительно z1 (ф) периодическое решение (т. е. чтобы в выражении для (ф) не появилось секулярных членов), необходимо приравнять нулю коэффициенты при основной гармонике, входящей в правую часть (6.36).
Приравнивая, получаем уравнения
(6.32)
СО
*(Ф)= 1 *Ч(Ф).
71=0
ОО
(6.33)
п=0
Решаем первое из этих уравнений, полагая
z0 = a cos ф, ш0 = со,
(6.35)
оо
П = О
определяющие а и После этого уравнение (6.36) примет вид
ОО
ОО
“2 (¦$L + zi) = g,o («)+ S Ign(«) cos пф + Лп (a) sin лф]. (6.38)
п= 2
92 КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ |Гл. I
Решая его, находим:
ОО
z, «.) = «, cos ф + + Лг 21 g"-,а> е°’?<а> "* , (6.39)
п=2
где ах — произвольная постоянная, которая должна быть определена из условия периодичности z2 (ф).
Покажем, как определяется ах. Для этого выражение для zx (ф) представим в виде
%х (Ф)= aicos Ф + и (а< Ф)> (6.40)
где
ОО
и(а м _ go (а) | 1 У ёп (a) COS яф + hn (a) sin яф
\ » Т/ (|)2 ' о>2
2
является известной периодической функцией ф.
Подставляя значение гх(ф) (6.40) в третье уравнение системы (6.34),. получим:
(^2 ^ \
+ z2 J = f'z(a cos ф, — аш sin ф) ах cos ф —
— /г' (a cos ф, — аш sin ф) ахш sin ф -|- 2сош1а1 cos ф -f-
+ 2шш2а cos ф + у (ф), (6.41)*
где
v (ф) = /z (a cos ф, — аш sin ф) и + {a cos ф, — аш sin ф) ш -f
/z' (a cos ф, —• аш sin ф) шха sin ф —)— ш^а cos ф. (6.42) Напишем разложение для v (ф) в ряд Фурье:
ОО
о(ф)= 2 [уп (a) cos иф + шп (a) sin геф]. (6.43)
тг=0
Кроме того, имеем:
fz (a cos ф, — аш sin ф) cos ф — /2'> (a cos ф, — аш sin ф) со sin ф =
ОО
= ^ [ё'тг (a) cos n§-\-hn (a) sin гаф], (6.44)
71= 0
и поэтому уравнение (6-41) можно записать в виде
ОО
“2(4p' + z0==ai 2 [gn (a) cos геф + hn (a) sin геф] -|-
тг= 0
оо
+ 2«)(cojc^ + ш2а) cos ф 4- [on(a)cos n^Arwn(a) sin геф]. (6.45)
гг—0
Для того чтобы г2(ф) являлось периодической функцией, необходимо в правой части уравнения (6.45) приравнять нулю коэффициенты при sin ф и cos ф. Получаем:
aLK{a)= -wx(a), ) ai§'i (а) + 2о>(со1а1+со2а)= — vx(a). J
§ 7] ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 93
Первое из этих уравнений определяет аг:
- - Wl(a) (6.47)
1 К И ’
причем h{ (а)=А\ (а) Ф 0, так как мы предположили, что функция А^а) имеет только простые корни.
Из второго уравнения находим ш2:
шг= j-+u>iai] , {6Л8) После этого уравнение (6.45) можем записать в виде
СО
^t+z2') = (v0(a) + a1go(a))+ 2 {(оп(а) + а1?»(а))со8ПФ +
п= 2
+ (®n(a) + a1^(a))sin иф}. (6.49)
Решением этого уравнения будет:
СО
z2 (ф) = а2 cos ф + 4г К (о) + aygo (а)) 2 {(«» (а) + aiSn («)) c°s +
П=2
+ (®n(a)+aX(«))sm4}jZ7' (6-50^
где а2 — неопределенная постоянная, которую определяем из условия
периодичности функции г3(ф) и т. д. Продолжая изложенный процесс,
можем построить приближенные решения для стационарного режима •с любой наперед заданной степенью точности. Например, во втором приближении согласно (6.31), (6.39) и (6.37) имеем:
х = (а + sat) cos (wt + <р) + g0 (а) +
СО _ _
, s ЧГ1 gn (a) cos п (wt + <?) +hn (a) sin п (<ot + <f) /йг^ч
+ -JT 2j --------------------------------. I0-01)
п = 2
где
<6-52>
а амплитуда должна быть определена из уравнения
Ма) = 0. (6.53)
Сравнивая полученное выражение для х (6.51) с ранее найденным выражением для стационарного режима (6.29), замечаем, что единственное отличие этих двух решений состоит в том, что амплнтлда первой гармоники в (6.29) равна а, где а —корень первого уравнения (6.30), а в формуле (6.51) амплитуда первой гармоники равна a-j-saj. Однако такое расхождение полностью совпадает с нашим замечанием но этому поводу, приведенным в § 1.
§ 7. Эквивалентная линеаризация нелинейных колебательных систем
Как указывалось выше, уравнения первого приближения в большинстве случаев приводят к тем же качественным результатам, что и
уравнения высших приближений.
Ввиду этого, а также ввиду сложности вычислений, с которыми, как правило, сопряжены операции с уравнениями высших приближений,
94 КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ [Гл. I
обычно целесообразно ограничиваться рассмотрением лишь уравнений первого приближения.
Эти уравнения допускают весьма простую физическую интерпретацию и могут быть образованы даже без предварительного составления исходного точного дифференциального уравнения, например типа (1.1).
В настоящем параграфе мы займемся вопросом интерпретации уравнений первого приближения.
Для этого напишем основное Дифференциальное уравнение колебательной системы в виде
+kx = ef(x, (7.1)
dt2 '\’dt
где тик положительны.
Как было установлено, решение уравнения (7.1) в первом прибли-
жении может быть представлено в виде
х = а cos ф, (7.2)
причем амплитуда а и полная фаза ф должны удовлетворять уравне-
ниям:
2 гс ч
da е
где
dt 2 nwm
О
? = U,e(«),
^/(асовф, — аю sin ф) sin ф йф,
(7.3)
2тс
<я% (а) = ои2 — ~^та \ f (а cos Ф> ~ то sin Ф) cos Ф ^Ф-
