Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что существует случай вырождения, когда функция Ф {а) тождественно равна нулю. В этом случае переходных режимов нет и всякое колебание является стационарным. Этот случай имеет место, например,
/* dx \ dx
когда fix, -ijj- ) зависит только от х и не зависит от ^ . Тогда уравнение (1.1) принимает вид
+ = 0, (5.3)
подробно рассмотренный нами выше.
Это уравнение можно интерпретировать как уравнение колебаний материальной точки, находящейся под действием силы F(x), зависящей
„ ли
лишь от положения и потому равной , где потенциал
ЗС
U = ^ F (a;) dx.
78
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ
[Гл. 1
Уравнение (5.3) является уравнением консервативной колебательной системы, энергия которой не меняется в течение колебаний.
Практически, однако, никакая обычная колебательная система не является консервативной, и в йей всегда имеются диссипативные силы, вызывающие рассеяние энергии, а также, если речь идет об автоколебательной системе, могут находиться и источники энергии.
Перейдем теперь к вопросу устойчивости стационарных колебаний. Допустим, что а0 — некоторый корень уравнения (5.2), т. е. постоянное, стационарное решение уравнения (5.1). Рассмотрим бесконечно близкие к а0 решения уравнения (5.1). Полагая
а = &Q §а,
для бесконечно малого приращения 5а получим (пренебрегаем членами высшего порядка малости):
d 5(i * / . \ л
ПГ = Ф Ю0®’
что дает:
За = (оа)0еф' (а°)'.
Таким образом, мы видим, что рассматриваемое значение амплитуды является устойчивым, т. е. соответствует устойчивому стационарному колебанию, если
ф' к) < 0, (5.4)
в противном случае, когда
Ф' (а0) > О,
соответствующее стационарное колебание является, очевидно, неустойчивым.
В частности, так как значение а0 =» 0, соответствующее состоянию равновесия (статическому режиму), всегда является корнем уравнения
(5.2) (благодаря формуле (1.33)), неравенство
Ф' (0) > 0
будет представлять условие самовозбуждения колебаний.
Записав его в раскрытой форме:
< (0)+«м; (0) + ... + ем; (О) > о,
и оставляя в стороне случай, когда функция Ах (а) может иметь кратные корни, мы видим, что при достаточно малых е (что, впрочем, всегда явно или неявно предполагается) вопрос о самовозбуждении решается *наком одного члена, именно &А[ (0), т. е. так же, как если бы мы имели дело с уравнением первого приближения.
Далее, в соответствии с (5.2) стационарные амплитуды должны удовлетворять уравнению
¦^1 (а) +®^2 (й) + ••• + Е" 1^п (°) = 0*
Поэтому, оставляя в стороне вышеупомянутые случаи кратных корней, можем разложить а в ряд по степеням параметра s:
а = а<0^Н-eat1 > -j- е2а<2) -j- . . ., (5-5)
где а<°) — корень уравнения Аг (а) = 0 (стационарная амплитуда в первом приближении),
А[ (ач») ’
§ 5] СТАЦИОНАРНЫЕ АМПЛИТУДЫ И ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ 79
Так как данный стационарный режим будет устойчивым или неустойчивым, если соответственно
е.А'х (а) + г2А% (а) + ... -f гпАп (а) ^ О,
и так как вследствие соотношения
еА{ (а) + ем; (а) 4- ... + епА' (а) = ,А' (а<°>) + е2 .. . ,
вытекающего из (5.5), знак его левой части определяется при достаточно малом е знаком еЛ'(а(°)), видим, что вопрос об устойчивости стационар-
ных колебаний решается при достаточно малых е в зависимости от знака еЛ' (а(°>), т. е. так, как если бы имели дело с уравнением первого приближения.
Вообще следует подчеркнуть, что, за исключением некоторых особых случаев, уравнения первого приближения приводят к тем же качественным результатам, что и уравнения высших приближений. Переход
к уравнениям высших приближений вводит обычно лишь поправки количественного характера, например поправки к величине стационарной амплитуды и т. п.
Заметим, что условие самовозбуждения колебаний не является необходимым для возможности существования устойчивого стационарного режима колебаний. Для этого, очевидно, достаточно, чтобы уравнение стационарности (5.2) имело по крайней мере один не равный нулю корень, удовлетворяющий условию (5.4).
Кроме аналитического исследования функции Ф (а), во многих случаях для определения характера колебательного процесса удобно рассматривать графики типа рис. 25—28, на которых приведена зависимость Ф(а) от а.
Стационарные амплитуды здесь определяются точками пересечения кривой Ф (а) с осью абсцисс. Нетрудно убедиться, что точки, в которых кривая пересекает ось Оа сверху вниз, соответствуют устойчивым
¦80
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ
[Гл. I
амплитудам колебаний, а точки, в которых кривая пересекает ось Оа снизу вверх, дают неустойчивые амплитуды.
Действительно, в первом случае нарушение стационарной амплитуды вызывает такое ее последующее изменение, благодаря которому амплитуда возвращается к своему стационарному значению. Во втором случае имеем обратную картину. На рис. 25 — 28 стрелками показано направление изменения а. Рис. 25 соответствует диссипативному случаю, рис. 26 —случаю самовозбуждения с одной возможной стационарной амплитудой, рис. 27 —случаю самовозбуждения с несколькими возможными стационарными амплитудами: а1( а3, а5 (колебания с амплитудами а2, ai, очевидно, неустойчивы).
