Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.Н. -> "Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний" -> 25

Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.

Боголюбов Н.Н., Митрольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний — Физматлит, 1963. — 410 c.
Скачать (прямая ссылка): asimpoticheskiemetodi1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 138 >> Следующая

2
Хаит 1аи>
^ 3 (я cos ф — х0) sin2 фс?ф. (4.36)
те
2
Пусть <j>a является корнем уравнения
асозф = ?0, (4-37)
лежащим между 0 и у .
Тогда для a>z0 имеем:
1 Фа+°
^ о (a cos ф — ж0) sin2 ф е?ф = ^ о (a cos ф — х0) sin2 ф е?ф =
__те Фа-0
2
яо-ЬО
ао—О
Если же а < х0, то, очевидно,
те
2
^ й (a cos ф — х0) sin2 фе?ф = 0.
2
Таким образом, на основании (4.36), (1.24) и (1.27) получаем уравнения для определения мгновенной амплитуды в пзрвом ^приближении
da X
Jt — ~2ja' если а<хо> da X - , I i Г. xl
dt ~ 2ja^2%jV ’ есЛИ a^x0’
ж совершенно аналогично уравнение для полной фазы
dif dt
где
ш, если а < х0\
(4.38)
'(а).
(в (а) = \ 1х0
1 ш — 27Cj-a2 > если а > ж0.
Из уравнения (4.38) следует, очевидно, что при достаточно малом начальном значении амплитуды а0, например при
а ^ Xq,
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
75
амплитуда a (t) будет убывать:
a(t)~>0 при t—>00,
и колебания с течением времени затухнут.
Данная колебательная система не имеет, следовательно, самовозбуждения, и статический режим (равновесие)
а = 0
является устойчивым.
Однако мы можем поставить вопрос о существовании стационарных (установившихся) динамических режимов, соответствующих постоянным, не равным нулю значениям амплитуды. Очевидно, что такие значения амплитуды а должны удовлетворять уравнению
<4Л>
так как для стационарных амплитуд ^ = 0-
Таким образом, вопрос о существовании стационарных динамических режимов связан с вопросом о существовании вещественных положительных корней у уравнения стационарных амплитуд (4.39). Рассмотрим это уравнение.
Переписывая его в форме
1-3-07.-.
получим биквадратное уравнение для а: из которого находим два корня:
Корни эти будут вещественны, если
/ 1 1
< 2 п\ •
Если
^ 1 1
х° > 2 ’
то оба корня (4.40) и (4.41) будут комплексными, и поэтому в случае
(4.43) стационарные динамические режимы невозможны. В этом случае единственным возможным стационарным режимом может быть положение равновесия а = 0.
Итак, при выполнении условия (4.43) колебания в рассматриваемой колебательной системе поддерживаться не могут. Независимо от своего начального значения амплитуда монотонно убывает, стремясь к нулю, и колебания со временем затухают.
)4-Жо(4У: &.Щ
)4-*о(й)2- (4-41)
(4.42)
(4.43)
76 КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ [Гл. I
При выполнении условия (4.42), как это следует из (4.38), процесс
изменения амплитуды будет происходить следующим образом:
если а(0)<а!, то a(t)—> 0;
t —У СО
если а (0) > ах, то а (t) —> а2,
t —>¦ СО
причем если а(0)>а2, то амплитуда монотонно убывает до значения аъ, а если а1<а(0)<а2, то амплитуда монотонно возрастает, стремясь к тому же значению а2.
Итак, если параметры колебательной системы удовлетворяют условию (4.42), в системе возможно устойчивое стационарное колебание с постоянной амплитудой:
но для того, чтобы возбудить это колебание, необходимо, чтобы начальная амплитуда колебаний была больше av т. е. необходим достаточно сильный начальный толчок, который создал бы- отклонение маятника, превышающее ar
Например, если начальные условия при t = 0 будут
п dx .
ж = 0’ dT = A>
то мы видим, что
¦ Зя .
4>о = 2 ’ = aow
и, следовательно, условие возбуждения колебаний будет
А > йуШ.
§ 5. Стационарные амплитуды и их устойчивость
В предыдущих параграфах были получены приближенные уравнения, определяющие закон изменения со временем амплитуды главной гармоники колебания.
Для любого я-го приближения полученное уравнение имеет вид
5-=ф(“)' (5Л>
где
Ф (а) = гАг (а) + г2А2 (а) + ... 4-з”.4п (а),
и потому может быть проинтегрировано в квадратурах.
Однако, и не производя интегрирования, можно исследовать поведение решения a = a{t) в зависимости от свойств Ф (а), чем сейчас и будем заниматься.
Допустим прежде всего, что не существует положительной величины а*, для которой
Ф (а) > 0 для всех а > а*.
Условие это, очевидно, необходимо принять и из чисто физических соображений.
СТАЦИОНАРНЫЕ АМПЛИТУДЫ И ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ
77
Действительно, если бы такое значение а* существовало, то, взяв начальное значение амплитуды большим а*:
а (0) > а*,
получили бы в соответствии с уравнением (5.1) неограниченное возрастание амплитуды
a(t)—-> со при оо,
т. е. неограниченное раскачивание колебаний, что, очевидно, физически невозможно.
Поэтому в дальнейшем всегда будем предполагать,' что это условие (которое можно назвать условием ограниченности амплитуд) выполнено.
Из уравнения (5.1) выводим, что амплитуда увеличивается, когда Ф(а)>0, и уменьшается, когда Ф(а) <0.
Неизменяющиеся, стационарные значения а определяются уравнением
Ф(а) = 0, (5.2)
для получения которого необходимо приравнять нулю правую часть уравнения (5.1).
Из уравнения (5.1) видим, что если начальное значение амплитуды не стационарно (не удовлетворяет уравнению (5.2)), то с возрастанием времени амплитуда a(t), монотонно возрастая (если Ф(а°)>0) или убывая (если Ф(а°)<^0), стремится к стационарному значению.
Итак, всякое нестационарное колебание с течением времени приближается к стационарному. Нестационарные колебания называются обычно неустановившимися колебаниями или колебаниями в переходном режиме. Факт приближения всякого колебания к стационарному выявляет особую роль стационарных колебаний, в особенности для высокочастотных колебательных процессов, для которых ввиду малости их периода колебаний переходной режим очень быстро приближается к стационарному. Поэтому колебания такого рода почти тотчас после начала колебательного процесса можно рассматривать практически как стационарные.
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed