Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Боголюбов Н.Н. -> "Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний" -> 30

Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.

Боголюбов Н.Н., Митрольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний — Физматлит, 1963. — 410 c.
Скачать (прямая ссылка): asimpoticheskiemetodi1963.djvu
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 138 >> Следующая

или, учитывая (6.3),
ОО
ш2(4^ + 20 = 2 /п(в)созпф + (а1а+/1(а))со8ф. (6.11)
п=0
пф1
Принимая во внимание требование периодичности функции г1(ф), приравниваем в правой части уравнения (6.11) нулю коэффициент при первой гармонике аргумента ф. В результате получаем уравнение для определения ах:
+ к («) = О,
откуда находим:
Подставляя найденное значение аг в правую часть ураэнения (6.11), имеем:
ОО
1фГ + 21 = 1?-2 /п(а)С°8пФ> <6Л2)
. п=0 пф\
откуда находим для гг (ф) следующее выражение:
ОО
- (б-«>
п=0
пф\
При этом как выражение (6.13), так и выражение для совпадают с выражениями, найденными согласно общему методу.
Продолжая изложенный процесс, можем последовательно определить все функции z1( z2, z3, ... и величины ai( а2, а3, ... до сколь угодно
большого значения индекса и тем самым построить приближенные реше-
ния, удовлетворяющие рассматриваемому уравнению (6.1) с точностью до любой степени г.
В качестве примера определим стационарное решение в третьем улучшенном приближении (с точностью до величин порядка малости г3 включительно) для колебательной системы, описываемой уравнением вида
-^ + * + «** = 0. (6.14)
§ в]
ПОСТРОЕНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИИ
89
Для определения функций z0, zx, z2, z3 и величин а0, а1( а2, ал на основании (6.7) получаем уравнения:
d4a '-z0 = О,
‘о d'\,* d22j
‘О d'lf d2z2
¦ z° — a,
d]/2
-)- z2 — 3z%zx as
d“z0
d*z.
d'^ ^ "2 “"о*1 2 dф2 1 (ty2 ’
d2zs
-f- z3 — — 3zqZ2 — 3zjz0 — as
d*z0
d2z1
d
dH2 ** di2
*0 2 ~T *“3 — ^"0^2 “3 ^^2
Из первого уравнения находим:
z0 (ф) = a cos ф, a0=l.
После этого второе уравнение можно записать в виде
(6.15)
d2z-
di/'
‘j- -f- zx = — a3 cos3 ф -f- axa cos ф,
или
d%
откуда имеем:
с2ф2
-j- cos Зф + \^лха — a3 J cos ф, 3
(6.16)
(6.17)
(6.18)
(6.19)
Подставляя (6.16) и (6.19) в третье уравнение системы (6.15), получаем:
W27 ?7
2 + z2 = —cos2 ф cos Зф -|- jko аъ cos Зф 4- ага cos ф,
ИЛИ
d2z«
21
dф2
z2 == J28 a5 cos Зф
3a5
128
cos 5ф -J- ( a2a
За5
128
cos ф,
откуда находим:
За4 128 ’ 21
z2 (Ф)= —1024fl6 C0S 3Ф + 1024 cos 5Ф-
(6.20)
(6.21)
(6.22)
После этого последнее уравнение системы (6.15) может быть записано в виде:
d2zз
или
d2i з
Г 21 а5
¦ z3 = -За2С032ф(^ __а5со8 3ф+^соз5ф
лб Q/j4 ОлЗ
• Зтт^ cos2 Зф a cos ф + а3а cos ф cos Зф -
1024
128 32
а" 1 iTsrz а5 9 cos Зф — 25 cos 5
4 V1024
1024
ф^, (6.23)
' —
1059а7 0, , 177 7 с,
COS Зф + О. COS 5ф ¦
2048
2048
a1 cos 7ф -f- (^a3a + a7^ cos ф, (6.24)
90
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ
ЕГл. I
из которого находим:
57 .
4096 а
1059 177 3
(Ф) = 2048^8 “7 C0S 3Ф “ 2048^24 C0S 5Ф + 20®48 а" C0S 7Ф'
(6.25)
Таким образом, принимая во внимание (6.8), (6.19), (6.22) и (6.25), получаем приближенное стационарное решение уравнения (6.14) с точностью до величин порядка малости г3 включительно в виде
х = a cos (wt -|— <р) -f е -|2- j" 1 — S а2 + s2 a* J cos 3 (mt + ср) +
+ г21Ш [1_35а2] cos5H + ?) + s326^48°™7(wt + <p), (6.26)
где а и <р — произвольные постоянные, а частота колебаний со определяется выражением
»> = 1+4«* + 4л«-J,A*. (6.27)
Перейдем теперь к построению приближенных решений для стационарных колебаний в неконсервативных системах. Для этого рассмотрим уравнение вида (1.1)
$+»”*=<*.?)¦ <6-28>
Стационарное решение (улучшенное первое приближение) этого уравнения согласно § 2 может быть записано в виде
ОО
ж = g cos ф + isM _ -L V gn («) cos п^ + hn («) sin ; (6>29)
n=2
где gn(a) и hn(a) (n = 0, 2, 3, ...) определяются согласно формулам
(1.29), ф = сю (a) ? + <p, а а и со (а) должны быть найдены из следующих
выражений:
А(а) = 0, )
- (6.30)
СО (а) = О)+6^(0), J
Ах (а) и Вх(а) определяются согласно формулам (1.27).
Для случая консервативных колебательных систем, как мы уже убедились, Ах(а) тождественно равно нулю, и иоэтому выражение для приближенного стационарного решения (6.29) зависит от двух произвольных постоянных а и <р.
Рассмотрим теперь случай, когда Ах(а) не обращается тождественно в нуль ни в каком интервале значений а. Предположим также, что функция Ах(а) имеет лишь простые корни. В этом случае каждому корню Ах(а) соответствует некоторое стационарное состояние, причем выражение (6.29) для этого стационарного состояния зависит лишь от одной произвольной постоянной, а именно от <р.
Приступая к изложению формальной методики построения стационарных решений уравнения (1.1), воспользуемся в основном способом, примененным выше для консервативных колебательных систем.
Решение уравнения (6.28), соответствующее стационарным колебаниям, представим в виде
х = z (wt-{• у), (6.31)
§ 6]
ПОСТРОЕНИЕ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ
91
где ^ — произвольная постоянная, ш —частота колебания, z (ф) — периодическая функция ф с периодом 2и.
Как и выше, функция г(ф) должна удовлетворять уравнению
Будем искать функцию z (ф) и частоту колебаний ш в виде разложений
где zn (ф) — периодические функции ф с периодом 2и.
Подставляя значения 2(ф) и ш (6.33) в уравнение (6.32) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях з, получим следующую систему уравнений:
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 138 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed