Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
о
Напомним, что первое приближение (7.2) является основной гармоникой приближенного решения (1.4), удовлетворяющего исходному уравнению (7.1) с точностью до величин порядка малости гт, а амплитуда а является согласно нашим допущениям полной амплитудой основной гармоники.
Заметив это, введем в рассмотрение функции амплитуды ке (а) и \ (а), определяемые следующим образом:
s V ]
Хе (а) = —\/(асозф, — аш sin ф) sin ф йф,
\ (7'4)
ке(а) = к — ^/(асовф, — ш sin ф) cos ф йф. I
о J
Тогда уравнения первого приближения (7.3) могут быть написаны в виде
da _ \е (а)
§ 7] ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 95
Продифференцируем теперь выражение (7.2) для первого приближения. Приняв во внимание (7.5), имеем:
= _ оо, (a) sin ф -асовф. (7.6)
Дифференцируя (7.6) еще раз, убеждаемся, что
d2x о / \ ,, (а) , . . . , (а) , ,
— = - аш* (a) cos ф +-^~Lau>e (a) sin ф + - ^ a cos ф +
. \е (а) 9 dwe (а) , d\e (а) а \е (а) ,
ке (a) le (a) dx \\ (а) т т dt 4 nil "т"
le (а) 2 dwe (а) . ,___1_ dle (а) \е (а) (1 1\
+ 2 т й da sm(P+ 2т da а 2т Х'
После этого на основании (7.4) можем записать (7.7) в виде
т ^ + \ И 4г + К (а)х = 0 (8«), (7.8)
где О (а2) - величина порядка малости з2.
Таким образом, видим, что рассматриваемое первое приближение
(7.2) с точностью до величин порядка малости з2 удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению вида
le(a)-W + ke(a)X = 0- (7-9)
Итак, в первом приближении колебания исследуемой нелинейной колебательной системы эквивалентны (с точностью до величин порядка малости е2, т. е. с точностью до величин, отбрасываемых при самом составлении уравнений первого приближения (7.3)) колебаниям некоторой линейной колебательной системы, обладающей коэффициентом затухания Хе(а) и коэффициентом упругости ке(а).
Ввиду этого будем называть Хе (а) эквивалентным коэффициентом
затухания, ке (а) — эквивалентным коэффициентом упругости, самое же
линейную колебательную систему, описываемую уравнением (7.9), назовем эквивалентной системой.
Сравнивая уравнение (7.9) с уравнением (7.1), видим, что уравнение
(7.9) получается из (7.1) путем замены нелинейного члена
г— /(*' тг) <7Л0>
линейным
^е=-[Ма)* + Хе(а)-^1, (7-И)
где кх (а) = ке (а) — к.
Заметим далее, что выражение
представляет собой декремент Затухания эквивалентной линейной системы, а
(а) = 1 /ЕМ.
v т
V т
— собственную частоту колебаний этой системы.
96 КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ [ГЛ. I
Мы видим, следовательно, что уравнения первого приближения (7.5) могут быть формально образованы следующим образом.
Линеаризируем рассматриваемую колебательную систему, заменяя в основном уравнении (7.1) нелинейную силу (7.10) линейной (7.11), л которой
2Г I
\(а)=- —-— \/(acoscj>, —- шо sin ф) sin ф йф, I
<¦ <7-12>
к1(а)= — “ ^/(асовф, — ш sin ф) cos ф йф. I о )
Для полученной эквивалентной линейной системы с массой т, коэффициентом затухания Хе (а) и коэффициентом упругости ке (а) = к + кг (а) обычным путем находим декремент затухания ое (а) и частоту собственных колебаний ше (а), отбрасывая при этом величины второго порядка малости.
Тогда получаем:
ое(«)=-^. (7.13)
Образовав выражения для декремента затухания и частоты, применим общеизвестные для линейных колебательных систем формулы
-§=-Sa, = (7.14)
выявляющие тот факт, что декремент затухания есть логарифмическая
производная амплитуды, взятая с обратным знаком, и что частота со
есть угловая скорость вращения полной фазы колебания.
Если мы в уравнения (7.14) подставим значения б и о> по формулам
(7.13) и (7.4), то получим равенства, совпадающие с ранее выведенными нами уравнениями первого приближения (7.3).
Изложенный формальный метод образования уравнений первого приближения будем называть методом линеаризации.
При пользовании этим методом возникает вопрос, почему с физической точки зрения при линеаризации, точнее говоря, при замене нелинейной силы (7.10) эквивалентной линейной силой (7.11), коэффициенты кг (а) и Хе (а) должны принимать именно те значения, которые даются формулами (7.12), а не какие-либо иные. Ввиду этого необходимо решить вопрос о физической интерпретации для этих формул.
Покажем прежде всего, что соответствующие (7.12) значения эквивалентного коэффициента затухания получим, приняв, что средние (за период колебания) мощности, развиваемые реальной (7.10) и эквивалентной (7.11) силами, равны. При этом, приравнивая выражения для обеих мощностей, следует пренебречь величинами порядка малости г2, так как уравнения первого приближения точны лишь до величин именно этого порядка малости.
Так как работа, совершаемая силой ке(а)х, пропорциональной перемещению, за период колебания равна нулю,-то, приравнивая друг другу мощности, развиваемые силами (7.10) и (7.11), получаем:
У*. (’-«I
о о
ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
97
где Г —период колебания. Из (7.15) следует также, что \(а) должно быть величиной первого порядка малости.
Но с точностью до величин порядка малости е мы можем положить
2тс
в течение интервала времени порядка — :
