Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
х = a cos (u)2 + &), ~ = — au> sin (wt + Ь), (7-16)
где а и 9- постоянны в течение этого интервала. В таком же приближе-
2,71
нии о) будет частотой колебаний, а Т = — периодом.
Подставив в обе части формулы (7.15) выражения (7.16), а также
Т = ~ , имеем с точностью до величин второго порядка малости (так как
в обеих частях (7.15) есть множители, являющиеся величинами первого порядка, именно е и \(а)):
2тс
03
— aw ^ f[a cos (со2 -f-9-), — ш sin (ш* + ^)] а s’n (<*>? + dt =
о
to
= — \ (а) ^ а2ш2 sin2 (o)t + dt = — Хе (а) а2тао (7-17) о
или
2 тс
Хе (а) таоа2 = sa ^ / (a cos ф, — аш sin ф) sin ф d§.
о
Имеем, следовательно, как раз то значение коэффициента \ (а), которое определяется по формулам (7.12).
Чтобы получить аналогичную интерпретацию и для другого коэффициента, для к у (а), воспользуемся принятым в электротехнике понятием реактивной мощности.
Напомним, что называется реактивной мощностью.
Пусть по некоторому проводнику АВ протекает переменный ток i (t) и Е (t) есть разность напряжений между концами А и В этого проводника.
Тогда активной мощностью Ра, отдаваемой или поглощаемой (в зависимости от знака) в рассматриваемом проводнике, называют величину работы, совершенной за период колебания Т, разделенную на величину Т, т. е.
т
Pa = ^^(t)i(t)dt. (7.18)
о
Как видно, понятие активной мощности полностью соответствует обычному понятию средней механической мощности; будучи связано с понятием работы или энергии, оно имеет вполне реальное физическое значение.
В электротехнике, однако, общепринято вводить в рассмотрение, кроме имеющего непосредственное физическое значение понятия активной мощности, еще и несколько искуственное понятие реактивной мощности.
98
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ
1ГЛ. I
Реактивной мощностью называют величину
т
Pr = ±r^E{t)i*{t)dt, (7.19)
о
где функция i* (t) представляет ток одинаковой формы с током i (t), но отстающий по фазе относительно последнего на 90°, иначе говоря:
F (*)“*(* —(7.20)
Ввиду очевидной и прямой аналогии между колебаниями механическими и электрическими представляется целесообразным использовать понятие реактивной мощности и для механических колебаний.
Допустим, например, что имеется некоторое тело, находящееся под воздействием какой-либо силы F (t) и совершающее периодические колебания.
Пусть Т будет периодом колебания, х (t) — перемещением тела. Так
как активной мощности в данном случае соответствует средняя механи-
ческая мощность
т
±^F\{t)x’(t)dt, (7.21)
о
то, рассуждая по аналогии с предыдущим, естественно называть реактивной мощностью выражение вида
т
-1 (7.22)
Приняв это определение и вернувшись к вопросу об интерпретации значения (7.12) для эквивалентного коэффициента кх (а), покажем, что именно это значение мы получим, если предварительно постулируем равенство реактивных мощностей (опять-таки с точностью до величин порядка малости г2), развиваемых реальной и эквивалентной силами. В самом деле, приравнивая друг другу выражения для обеих реактивных мощностей, имеем:
т
4$/[*(0. ж'(г)]ж'
о
т
= — Т ^ [*i(a)*(0-t-^e(flt)a:,(0] я' (7.23)
о
Так как Хе (а) есть величина первого порядка малости, то очевидно, что (а) будет того же порядка малости относительно s.
Поэтому, подставляя в выражение для реактивных мощностей формулы:
х = a cos (mt + Ь), ^ = — aw sin (юt -(- Ь), Т =
точные до величин первого порядка малости, имеем с требуемой точ-
§ 7] ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 99
ностью;
Т 2гс
^ t[x(t), х' {t)]x' (jL — ~^dt = 4^ ^ / (a cost)), — aw sin ф)cosфс?ф, jr \ 1К (а) х (t) + Хе (а) Я' (2)] */(*--?)* = -в,<°*1 W
О
откуда на основании (7.23) получим:
2к
ку (а) = —^ \f(a cos Ф> — аш sin Ф) cos Ф ^Ф>
о
т. е. то же самое выражение, что и по формуле (7.12).
Итак, резюмируя вышесказанное, видим, что при применении метода линеаризации параметры (эквивалентные коэффициенты) [эквивалентной линейной силы
л=-[м<.)*+м<*)5] - (7-24)
заменяющей нелинейную:
F = ./(*,§), (7.25)
могут быть определены приравниванием друг другу выражений активных и реактивных мощностей, развиваемых силами (7.24) и (7.25) при гармонических колебаниях:
х — a Cos (а>2 + 9),
где а) — частота в «нулевом» приближении.
Этот способ определения эквивалентных коэффициентов назовем принципом мощности или принципом энергетического баланса.
Приведем еще один, более простой прием определения эквивалентных коэффициентов.
Для этого подставим значения х и ^ согласно формулам (7.16)
в выражения (7.24) и (7.25).
Для гармонического колебания (7.16) линейная эквивалентная сила Fe также будет гармонической функцией времени с частотой о>. Обозначая амплитуду и фазу Fe соответственно через /е и <ре, имеем:
Fe = Jecos(o>t + fg). (7.26)
Нелинейная сила будет, вообще говоря, периодической функцией времени, состоящей из различных гармоник с частотами вида то, где п— 1, 2, ...
Допустим, что
J cos (wt + <j>) (7.27)
является ее основной гармоникой. Тогда, приравнивая . амплитуды и фазы
= ?е = ?
100 КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ [Гл. I
