Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Вообще, если функция Ф (а) имеет корень а*, удовлетворяющий неравенству Ф' (а*) < 0, то возможен стационарный режим колебаний с постоянной амплитудой, равной а*. Заметим, что стационарная амплитуда самовозбужденных колебаний (т. е. предел монотонно возрастающей амплитуды колебаний, для которых а0 было весьма мало) равна наименьшей из всех возможных стационарных амплитуд. Этот факт становится ясным из того очевидного физического соображения, что амплитуда, возрастая, не может перескочить через устойчивый корень уравнения Ф (а) = 0, т. е. через корень этого уравнения, удовлетворяющий условию Ф'(а) < 0.
На рис. 28 изображен случай, когда система несамовозбуждена, но вместе с тем в ней все же возможны стационарные колебания. В этом случае если начальное значение амплитуды а° меньше аи то колебания затухают, если же оно больше аг, то колебания устанавливаются и в пределе превращаются в стационарные колебания с амплитудой а2.
В качестве примера рассмотрим уравнение
j^+Q-1 + Х2ж + Х3ж2 + Х4ж3 Хвж4) ~ — 0, (5.6)
встречающееся в теории ламповых генераторов.
Чтобы обеспечить применимость к этому уравнению полученных нами результатов, допустим, что возмущающий член является достаточно малым, и положим
~(Хх + Х2жХ3ж2 4- Х4ж3 4- 15х*)^=
Тогда получим:
2тс
е Г , , , ,ч . , 7. , Хба5и)
— \ / [a cos ф, — аш sm ф) sm ф аф = -|--^---\---g— ,
о
и потому на основании (1.27) приходим к следующему уравнению первого приближения для амплитуды:
da \га Х3а3 \$а5
It ~~ 2 8 ТеГ •
Заметим, что если Х5 < 0, то правая часть этого уравнения оказывается положительной для всех достаточно больших значений а. Таким образом, в этом случае колебания с достаточно большой амплитудой неограниченно раскачиваются, т. е. a(t)—^00 при 2—> оо, что, очевидно, невозможно по физическим соображениям.
Допустим поэтому, что Х6 > 0. Далее заметим, что условием самовоз-уждения будет h <0. Рассматривая случай отсутствия самовозбужде-
СТАЦИОНАРНЫЕ АМПЛИТУДЫ И ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ
81
ния, положим Xj > 0. Решая уравнение
М , М! I ^5аб _ Г)
2 ' 8 16 ~и’
(5.7)
кроме «статического» решения а = 0, находим:
/ \ \ ^ 8Х.
Так как Хх >0, \ > 0, то, если X» > 0 или если (А ) < -г1-, урав-
нение (5.7) не имеет положительных решений» График зависимости
от’а имеет вид, представленный на рис. 25, показывающем, что колебания любой амплитуды являются затухающими.
Пусть, наоборот,
тогда имеем два возможных значения для амплитуды стационарных колебаний:
График зависимости-^ от а в этом случае приведен на рис. 29* Очевидно, что ах соответствует неустойчивым, а а2 — устойчивым колебаниям.
Итак, колебания с начальной амплитудой, мень-шей а1, будут затухать, а колебания с начальной ам-
плитудой, большей av б у- 0 __________ ??/_______д
дут приближаться к устой- ST /
чивому стационарному ре- N.
жиму. —
Рассмотрим теперь случай, когда в колебательной
системе имеется некоторый Рис. 29.
параметр ^ (или группа параметров), который можно изменять как угодно медленно (адиабатически). В этом случае правая часть уравнения (5.1) будет зависеть от и может быть представлена в виде Ф(а, jj.).
Будем рассматривать изменение параметра, настолько медленное по сравнению с эффективной длительностью переходного режима (т. е. по сравнению с временем, по истечении которого произвольное колебание становится практически стационарным), что для каждого значения fi в течение этого изменения колебание можно предполагать стационарным. Для определенности допустим, что для jj., меньших некоторого р-0,
da
Фа (0, Ц) < 0,
82
КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ
1Гл. I
а для (л, больших этого значения,
Фа (0, Ji) > 0.
Будем теперь адиабатически изменять р, увеличивая его, начиная с некоторого значения f^, меньшего (л0.
Пусть система находилась вначале в равновесии: а = 0. Тогда, поскольку при р. < р0 система не самовозбуждена, она и останется в равновесии вплоть до достижения параметром р критического значения, равного р0. При переходе через это критическое значение появляется самовозбуждение, и равновесие становится невозможным, амплитуда а от нуля переходит к значению а (р.), равному наименьшему устойчивому корню уравнения
Ф (а, р) = 0.
Таким образом, зависимость амплитуды от параметра представляется в виде
а = 0 для р О0> а '= а (р) для р > р0.
Если полученная кривая будем говорить, что имеем
Рис. 30.
зависимости а от р непрерывна, то мы случай мягкого возбуждения колебаний (по отношению к данному параметру). В случае мягкого возбуждения при переходе через критическое значение р = (л0 в системе начинается генерация колебаний, амплитуда которых вблизи критического значения постепенно возрастает от нуля.
Если же в точке р = р0 имеется разрыв, то тогда при переходе через критическое значение амплитуда перескакивает от нулевого значения сразу к значению а(р.0 + 0). Этот случай называют случаем жесткого возбуждения.
Пусть, например, правая часть уравнения (5.1) имеет следующий вид:
Ф(о, р) = {ф(а)-^}'Р(а, р), (5.8)
’F (а, р.) > 0 и Ф (а) — некоторая функция а, не зависящая от р. В этом случае вопрос о характере возбуждения можно решить с помощью следующих графических построений.
