Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний - Боголюбов Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Построим кривую (рис. 30)
у = Ф (а).
Тогда стационарные амплитуды определятся точками пересечения этой
1
кривой прямыми вида у — ^-а. Устойчивыми будут те, для которых угол
наклона прямой больше угла наклона касательной в точке пересечения.
Таким образом, на рис. 30 имеем случай мягкого возбуждения, так как при переходе р через критическое значение, равное
__1__ 1 Ро " tg I _ Ф; (0) ’
где
амплитуда начинает возрастать от нуля.
СТАЦИОНАРНЫЕ АМПЛИТУДЫ И ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ
83
На рис. 31 имеем случай жесткого возбуждения. При переходе через критическое значение амплитуда перескакивает от нуля к аг.
Рассмотрим детально случай, представленный на рис. 31. Пусть мы увеличиваем постепенно параметр от нуля, уменьшая таким образом
1
угол у наклона прямой у = — а, и пусть система находится вначале
Iх
в состоянии покоя а = 0.
Тогда, очевидно, амплитуда будет равна нулю вплоть до того момента, пока у не станет меньше После перехода через ? амплитуда
Рис. 31. Рис. 32.
скачком принимает значение а1 и затем начинает непрерывно расти. Если мы теперь начнем уменьшать р (увеличивать у), начиная от значения Yj > S, то амплитуда будет убывать и, начиная с у = Si> срывается, при этом в системе устанавливается состояние покоя. Отобразив графически зависимость а от р в течение такого процесса, получим кривые (рис. 32), имеющие характерную гистерезисную петлю. Значение стационарной амплитуды зависит не только от значения параметра, но и от того, каким образом этот параметр изменялся.
Подобного рода явления наблюдаются в некоторых автоколебательных системах и называются колебательным гистерезисом или затягиванием; последнее наименование отражает тот факт, что при бесконечно медленном, или, как иногда говорят, адиабатическом, изменении параметра амплитуда стремится как бы затянуть возможно дольше плавное изменение до тех пор, пока непрерывное изменение приводит к неустойчивым амплитудам.
Гистерезисные петли могут иметь и более сложную форму, чем на рис. 32. Так, например, для случая диаграммы рис. 33 при изменении (л имеем зависимость, схематически изображенную на рис. 34. Для исследования характера возбуждения колебаний можно воспользоваться еще следующим приемом, по существу аналогичным вышеизложенному.
84 КОЛЕБАНИЯ В_СИСТЕМАХ, БЛИЗКИХ К ЛИНЕЙНЫМ
Построим кривую
Ф (а)
у = —^ . а а
?гл.
(5.9)
Тогда стационарные амплитуды определятся точками пересечения этой кривой прямыми, параллельными оси а:
1
у = —
(5.10)
Условие устойчивости
может быть записано в виде
дФ (а, да
<0
Г ф (а) п
1 а ^ I
да
<0
(5.11)
и потому допускает простую геометрическую интерпретацию. Устойчивыми будут амплитуды, соответствующие таким точкам пересечения кривой
Рис. 35.
Рис. 36.
(5.9) с прямой (5.10), в которых направление кривой идет сверху вниз (рис. 35).
Сказанное относится к стационарным амплитудам, не равным нулю. Кроме этого, всегда существует и стационарная амплитуда, равная нулю. Она будет неустойчива, если
<5Л2>
т. е. если точка пересечения кривой (5.9) с осью а = 0 лежит выше точки пересечения с этой осью прямой (5.10). В противном случае равновесие устойчиво.
Как видно, этот последний графический прием удобнее первого, так как в этом случае не требуется проводить касательных. В остальном рассуждения остаются теми же, что дает нам возможность не детализировать их.
На рис. 36 схематически изображена картина колебательного гистерезиса, соответствующего случаю, изображенному на рис. 35.
В качестве простейшего примера рассмотрим уравнение электронного генератора (при безразмерном времени):
4F+r+m{^~'<-M~DL)r^+V}}^=0- (5ЛЗ)
§ 5] СТАЦИОНАРНЫЕ АМПЛИТУДЫ и ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ 85
Здесь V — переменная слагающая управляющего напряжения, L, С и R — соответственно самоиндукция, емкость и сопротивление колебательного контура, М — коэффициент взаимной индукции между цепью сетки и колебательным контуром, Е0 — постоянная слагающая управляющего напряжения, D — проницаемость лампы.
Ввиду того, что при обычном устройстве генератора безразмерное выражение
yW И~{М~DL)r {Е°+ V)} (5> 14)
будет величиной порядка 0,01, для построения приближенного решения можем воспользоваться ранее выведенными формулами.
На основании (1.23), (1.24) и (1.27) в первом приближении имеем:
V = a cos (г -1- <р), (5.15)
причем
2 yj?*±=_l^a + {M-DL)F (а), (5.16)
где
275 2тс
F (а) = ^ /' (Е0-\- a cos т) sin2 т dx = — ^ / (Е0-}~ a cos т) sin т dx. (5.17)
о о
Характер возбуждения колебаний, выраженный уравнением (5.16), согласно изложенному выше может быть-исследован двумя графическими приемами:
1) Путем построения кривой
y = F (а),
так называемой колебательной характеристики лампы. Тогда стационарные амплитуды определятся точками пересечения этой кривой с прямыми
L
М-
2) Путем построения кривой
F [а)
у =——
э а
и рассмотрения ее пересечений с прямыми
L
У~ (М — DL) R ’
параллельными оси г/ = 0.
Заметим мимоходом, что угловой коэффициент касательной к характеристике лампы, т. е. /' (Е), именуется обычно в радиотехнике крутизной характери стики.
